立方差与立方和在课本上有吗(复数域上的立方和与立方差公式)
作者 | 子曰在《数学女孩5:伽罗瓦理论》第7章中,村木老师给了泰朵拉红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫的七张卡片,依次解开这7张卡片上的问题或算式,就可以导出三次方程的求根公式,下面我们就来聊聊关于立方差与立方和在课本上有吗?接下来我们就一起去了解一下吧!
立方差与立方和在课本上有吗
作者 | 子曰
在《数学女孩5:伽罗瓦理论》第7章中,村木老师给了泰朵拉红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫的七张卡片,依次解开这7张卡片上的问题或算式,就可以导出三次方程的求根公式。
其中绿色卡片上的问题是:3次方的和,即
问题7-4(3次方的和)
假设三次方程 的解为 ,而且 与 的定义如下。
请用 和 表示 。
背面还写了一个提示的式子,如下。
提示的式子(绿色卡片的背面)
初看此式(见原书第231页),让人有点摸不着头脑。实际上,这是两数的立方和在复数域上的因式分解,即:
或称其为复数域上的立方和公式。它是怎么得到的呢?下面就来给大家讲解一下,顺带把立方差公式也一起讲一下。
实数域上的立方和与立方差公式一般指:
在复数范围内,右边的二次三项式还可以继续分解。
令 ,把它看成关于 的二次方程,由于判别式小于0,它在实数范围内无解,但在复数范围内可解得两根为:
所以
在复数域上,1的三次方根有三个:,其中 , .
所以
所以,复数域上的立方差公式可以写成:
对于 ,令 ,同理在复数范围内可解得:
所以
由于
所以
以上,因为 是1的三次方根,所以 ,所以 , .
所以
所以,复数域上的立方和公式可以写成:
至此,我们解开了“3次方的和”的秘密。
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