数学悖论有哪些（数学角度看经典悖论）

哲人曾说："向上的路和向下的路是同一条路。"悖论总有办法折磨我们的思维。它照亮了我们经验中的那些看似合理的概念所具有的不一致性和不足之处。它让我们对理解的框架和理解本身产生怀疑。任何试图挣脱这种矛盾的思想之塔都摇摇欲坠，稍有扰动便会轰然倒塌。但是，如果我们能足够巧妙地对它加以利用，它也能成为使我们顿悟的工具。

一、公孙龙的诡论"白马非马"

在2000多年前，我国有一位善于辩论的人叫公孙龙，一天骑着一匹白马打算出城。恰好这天赶上官府禁令，只许人出城，不许马出城，因此公孙龙刚一走到城门口，就被一个守城士兵拦下了。

士兵说："今天所有的马都不允许出城！"

公孙龙微微一笑，不慌不忙：

"我现在骑的是白马，白马和马不是一种东西啊！你看，白马拥有"白"的颜色和"马"的外形，而马只拥有"马"的外形而不具有"白"的颜色。拥有两种特性的白马怎么会和只拥有一种特性的马相等呢？所以说，我骑的白马不是马，自然可以出城了！"

士兵听了无法反驳，只得放骑着白马的公孙龙出城。

毫无疑问，公孙龙的忽悠是成功滴，他的每一句话分开看都是对的，让人无法反驳，但是由这些正确的话推导出的结论却违背了人们的一般认知，在不能承认却也无力辩驳之后，人们就给公孙龙安上了一个"诡辩"的头衔。这就是历史上有名的怪论"白马非马"。

"白马非马"的意思就是说白马不是马。公孙龙认为，如果白马是马，黑马也是马；马又是白马又是黑马，那么白马就是黑马，这样白就是黑了。这真是令人啼笑皆非的诡论呀！

然而一般人却很难找出公孙龙论证的逻辑毛病呢，下面我们来仔细分析一下：

日常说话用的语言，是不精确、不严密的，而同一个词又往往有不同的含义，日常用语要是经过认真琢磨推敲，就会出现漏洞，这便给了公孙龙胡说诡辩的可乘之机。

以"白马是马"的"是"字来说，常见的有3种含义：

其一，"是"可以表示一样。相当于数学中的"等号"作用。如1公里是1000米，半径为R的圆的周长是2mR，中国的首都是北京。

其二，"是"可以表示元素和集合之间的归属关系。如x=2是方程x3=8的解，x=2是一个元素，这个元素在方程x3=8所有解组成的集合里。祖冲之是我国古代的数学家。同样祖冲之是"一个"数学家，而我国古代的数学家却很多，一个人只能属于这很多人组成的集合中的一个元素。

其三，"是"可以用来表示两个集合之间的包含关系。如正文形是矩形。表示正方形的集合包含于矩形的集合，即正文形集合是矩形集合的子集。

由此可以发现，原来公孙龙在辩论的过程，所犯的毛病就是偷换概念、混淆视听。

"白马"和"马"是部分与全体的概念，部分属于全体，全体包括部分，而这两种概念是不能等同的，公孙龙就是把"白马是马"简单地偷换成"白马"等于"马"，从而推出了"黑"

就是"白"的矛盾。最后他推断的"白马非马"，他又把"是"的等同概念转换成"包含于"了。

明白了这个道理，我们只需问他一句话就可戳穿他的诡辩：你说的"非"字是什么意思呢？是"不等于"、"不包含"还是"不属于"呢？

若是表示"不等于"，那么"白马非马"指的是白马集合不等于马集合，这是正确的。要是表示"不包含于"，那就是诡论，因为白马集合包含于马的集合。要是表示"不属于"的意思，白马非马即是说，白马集合不属于马的集合，这也是对的。因为表示两个集合的关系，不同于元素与集合的关系，只能是用"包含于"，而不是用"属于"表示两者的逻辑关系。

从公孙龙的论证来看，如果把"马"与"白马"作为两个概念来看，"马"的概念当然不能等同于"白马"的概念，"白马非马"是可以成立的。但从事实层面看，"白马"与"马"构成为个别与一般的关系，个别不同于一般，又为一般所包含，"白马非马"有违于事实的存在状况，就难以为常识所接受。但不可否认的是，公孙龙通过"白马非马"的论证触及到概念在内涵与外延的区别问题，这在逻辑发展史上是有贡献的。

后来孔丘的后人孔穿找到公孙龙就这个问题进行辩论，公孙龙举了一个孔丘的故事。故事说：楚王遗失一张弓，下人设法寻找。楚王说："楚人遗弓，楚人得之，又何求焉。"孔丘批评楚王："楚王仁义未遂，应该说人遗弓，人得之，何必说楚。"公孙龙说："孔丘"异楚人于所谓人。如果孔丘的话是对的，我"异白马于所谓马"的辩论也是对的。孔穿不能回答。

古龙曾说过："女朋友不是朋友"是对"白马非马"这句话的最好理解！"女朋友不能等同与朋友，这个问题不用解释，大家也心照不宣。用其解释白马不能等同与马的论断，比喻似乎是不怎么样，但道理好像一下明了很多。

二、鸡先还是蛋先的争论

"先有鸡还是先有蛋"几乎是一个全世界的共同话题，而这个问题的古老程度超出了大家的想象。常常让人们无法回答。因为：如果说先有鸡，那么鸡应该是从蛋里孵出来的，这样岂不是先有蛋？

如果说先有蛋，那蛋应该是鸡生的，这样不是先有鸡吗？这个问题看起来真是让人很难确定。其实由生物进化论的理论已经证实现有的生物是在亿万年漫长的时间里，由无机物到有机物，由无生命到有生命，由单细胞到多细胞，由低级到高级的过程逐渐进化而来的。

具体来说，鸟类是由爬行类动物的一支发展而来的，而鸟类中的某一分支又进化成了现代的鸡，这是一个渐变过程。而鸡的祖先，因为遗传性的改变产生出了一些蛋，而这些蛋又孵化成最早的鸡。这样通过不断地进化，才逐渐出现我们现在看到的鸡。因此现在的鸡的演变过程可以简要概括为：鸡的祖先→蛋→最早的鸡→……今天的鸡。

古希腊哲学家亚里士多德就曾经认真的思考过这个问题，困惑的他最终得出了一个非常哲学化的答案：无论是鸡还是蛋，这两者都必然是一直存在的。亚里士多德的老师柏拉图也针对这个问题说过"任何生命出现在世界上之前都会先化作灵魂"。当然，这两位大哲学家的回答似乎都有些虚无缥缈，但这并不影响这个问题从古至今的热议程度。

这样以来回答问题的关键是：鸡的祖先可否称为现在的鸡，可以的话，答案自然是先有鸡；若不可以，那就要看这样过程里的"蛋"，有没有资格叫做现在的"鸡蛋"，要是它可以叫做鸡蛋，答案就是先有鸡蛋。如果认为最早的蛋不是鸡生的，所以不能算"鸡蛋"，那么答案就是先有鸡，而最早的鸡是从一种不叫"鸡蛋"的蛋里孵出来的。

总而言之，先有鸡还是先有鸡蛋的答案，取决于如何确定"鸡"或"鸡蛋"的定义。如果规定的鸡生的蛋才叫"鸡蛋"，那么就是先有鸡；如果规定能孵出鸡的蛋就是"鸡蛋"。那么就是先有鸡蛋。同样的道理，问题的答案也可以由"鸡"的定义去确定。原来问题的答案，是由"鸡"或"蛋"的定义所决定的。

由此可见，数学中有许多名词概念，理解和掌握它的定义含义是非常重要的。在我们的实际生活中、决不能像公孙龙那样主观任意地割裂事物的联系，抓住事物的一个方面，而否认另一个方面。否则在理论上和实践上的危害是极大的。

类比《 道德经》寓意，对于"先有鸡还是先有蛋"我们可以这样深入理解，今日的鸡和蛋，不同于几千年前的鸡和蛋，不同于几万年前的鸡和蛋，更不同于万物发生之初的物种，分化和演变，演化和突变，物变而名随，古今名同而实不同也。

今日的"鸡"和"蛋"之名，不能反映物种发生之初期的"鸡"和"蛋"之实。也不能用今日的"鸡"和"蛋"之实，去套物种发生之初期的"鸡"和"蛋"之名。事物在发展变化，实与名亦在发展，故"名可名，非常名"也。知变知化，则可知古知今，此乃"知古之道，以御今之有"也！