数学要怎样才能学得更好（数学可以怎样教得更好）

作者 | 萧文强 为香港大学数学系退休教授来源 | 数学传播 40 卷 1 期, pp. 81-86 好玩的数学感谢授权转载

我把讨论题目修改为:数学可以怎样教得更好？[这篇文章是作者在 ICM 的一个全体专题讨论会上引言讲稿, 旨在引起更深入的讨论。讨论会是国际数学家大会(International Congress of Mathematicians) 节目之一, 2014 年八月十八日在韩国首尔举行, 讨论题目是“数学应该怎样教得更好？”(How should we teach mathematics better?)讨论会其他成员有:美国密歇根大学的波尔教授 (Deborah Ball) (主持人)、新西兰奥克兰大学的巴顿教授(Bill Barton) 及法国傅立叶大学的拉博尔特教授 (Jean-Marie Laborde)。波尔教授因事未能到会。有关讨论会更详尽的报告, 读者可参阅: D. Ball, B. Barton, J.-M. Laborde, M. K. Siu,How should we teach mathematics better? Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians Seoul 2014, Volume 1, edited by S. Y. Jang et al, 2014, pp.739-742。本文由陈凤洁女士翻译为中文, 作者谨向译者致谢。]

若然题目用了“应该”("should") 而不是“可以”("can"), 就会令人觉得老师有一些固定的法则可以遵从。事情不是这样的; 我也没有资格教导别人怎样教学。而且, 优良的教师有不同的类型, 各有长处, 决不会只有一种既定的方法可以令教学做得更好。虽然如此, 劣质教师却很容易给认出。让我从十九世纪法国小说家司汤达 (Stendhal, 此乃 Marie-Henri Beyle (17831842) 的笔名) 于 1836 年著作的半自传小说《布鲁特的一生》(Vie de Henry Brulard) 抽出一个例子, 作者描述他在学校学习数学的历程:

……道佩 (Dupuy) 是我见过最自负和最奉行父权的中产阶级, 一位完全没有天分的数学老师。……因为教学方法十分愚蠢, 我的数学学习没有进展; 如果可能学到什么的话, 我的同学所学得的比我更少。伟大的道佩先生讲解命题就好像给我们提供一连串制作酸醋的方法。……我越是轻蔑道佩先生和沙拔尔先生 (Chabert) 两位教师, 我越喜爱数学。

……我认为, 数学不可能虚伪, 以我年少时的单纯见解, 认为所有科学也应如是, 因为我知道, 科学应用了数学。但当我发现没有人能够给我解释“负负得正” (这是被称为代数的科学的重要根基之一) 究竟是什么一回事时, 我真的十分震惊！他们不单不能够清楚解释 (当然这是可以清楚解释明白的, 因为它导致真理), 更坏的是, 他们用一些显然自己都不明白的道理来解释。

……(沙拔尔先生对我说:)“这是惯例。人人都接受这样的解释; 跟你差不多一样优秀的欧拉 (Euler) 和拉格朗日 (Lagrange), 他们都接受。[……]看来, 你是想突出自己吧。”至于道佩先生, 他对我的胆怯抗议 (胆怯是他的夸张语气使然), 报以拒人千里、高高在上的微笑。(Stendhal (1836/1961))

道佩先生表现了劣质教师的两个特性——没有脑袋和没有心！Gilbert Highet 在他的著作 The Art of Teaching 中指出两点, 是成为优良教师的两个重要而且必需的条件; 虽然是老生常谈, 其实是真理 [Highet, 1950]。

首先, 教师必须喜爱他教的科目。最好的脚注来自十八世纪德国诗人和思想家诺瓦利斯 (Novalis, 此乃 Friedrich Leopold von Hardenberg 的笔名):“一位真正的数学家根本就热衷于数学。没有热心, 便没有数学。”(Moritz (1914))

其次, 教师必须喜爱他的学生。美国数学家莫伊斯 (Edwin Evariste Moise) 说过一段很有意思的话:“教学这项活动, 涉及一种意义十分不明确的人际关系。教师本人是一位表演者、讲解员、监工、领头人、裁判员、导师、权威人物、对话者和朋友。所有这些角色都不易担当, 其中有不少还是互不协调的。因此, 要成为一位老练成熟的教师, 个人品格的细致成长是不可或缺的。”(Moise (1973))

我们不再详细论述这两点, 重回到数学教学这个问题吧。教学就是说故事, 要说一个好故事, 一个能引起好奇和激发想象的好故事, 一个关于人类在悠长岁月探索理解周遭世界的故事。

我将简短讨论以下三点: (1) 少者多也 (Less isMore), (2) 数学史与数学教学 (History andPedagogy ofMathematics), (3) 数学教育与鼠标(Mathematics & theMouse)。

(1)LisM

在小学和中学, 学生要学习的数学基本概念并不太多; 这些基本概念在小学和中学各级的课程不断重复出现, 甚至出现在大学课程。因此, 数学教育界务必努力设计以这些概念为主线的教学和学习活动。

一个富启发性的例子可以说明这一点, 这个例子取材自德国数教育学家 Erich Wittmann 和 Gerhard Müller 领导的"Mathe 2000"计划[德国的 Nordrhein-Westfalen 省于 1985 年采用了新的小学数学课程(小一至小四); 课程主要是由德国数学教育权威人士 Heinrich Winter 撰写。为了协助教师实践这个新课程, 德国 Dortmund University 的 Erich Ch. Wittmann 和 Gerhard N. Müller 于 1987 年成立了 "Mathe 2000"计划。(有关详情, 请浏览网址 http://www.mathe2000de/)], 其意念却沿自 Alistair McIntosh 和 Douglas Quadling 所写有关 Arithmogons 的文章 (McIntosh & Quadling (1975))。(有关此例请阅附录。)

主要的讯息是“少者多也”(Siu (2000); 萧文强 (1995))。

(2)HPM

我坚持的信念是: 数学是文化的一部份, 它并不只是工具而已, 那怕已经证明了它是非常有用的工具; 因此, 数学的发展历史, 以及由古至今数学与其他人类的奋斗活动的关系,都应该是这学科的一部份。我的教学与学习经验告诉我: 数学史知识帮助我更深入了解数学内容和改进我的教学; 其实, 把数学史融入教学以达致这目的只不过是众多方法其中之一;数学史未必是最有效的选择, 不过我相信, 只要恰当运用, 它可以是一种有效的方法 (Siu (2014); 萧文强 (2009/2010a))。

虽然数学史非常重要, 但我们不能视之为解决数学教育各项问题的万应灵丹, 这就好像数学科本身虽然重要, 但不是唯一值得学习的学科。就是因为数学能有机地融入其他知识和文化活动, 数学科才成为更值得学习的科目。在这样更广泛的层面来说, 数学史更加肩负全人教育的一个重要任务。(Siu & Tzanakis (2004))

我们应该从三个观点检示一个数学课题: 历史观点, 数学观点和教学观点。虽然这三个观点相关, 其实各有不同之处。按照历史发生的过程去教, 未必是最佳的方法; 从数学角度看是最佳的, 放进课堂未必佳, 更可以肯定说历史上不是这样发生的。不过, 这三个观点互相补足。作为数学教师, 我们应该设法多知道些数学史及具备坚实的数学知识, 以了解该课题, 然后着眼于教学方面, 以冀能够在课堂上发挥, 让学生学得更好, 明白得更多更深入。

(3)M & M

2003 年《新闻周刊》(Newsweek) 有一期特刊, 封面刊出的主题是: "Bionic Kids: How Technology is Altering the Next Generation of Humans"。其中标题为"Log on and Learn"的文章有两点值得注意。

“小孩脑袋发展, 能擅于处理多样的视觉信息。……

儿童可以同时留意多种不同的事情。但是, 这样做有一定的代价, 即不可能深入了解任何一件事情。”

鉴于年轻一代学习习惯有所改变, 我们应该详细检视那些长久以来已确认的古旧教与学理论。为此我们提出一些问题 (Siu (2008/2006); 萧文强, (2009/2010b))。

(1) 应该怎样利用 IT (Information Technology, 信息技术 ) 使学生学得更好, 而不妨碍他们进行缜密分析和深入思考。

(2) 可以怎样保证“发现法”学习不等同于误打误撞的尝试。

(3) 如何保证富于想象的思考不等同于漫不经心的态度、同时进行多项工作不一定要粗心和仓促、使用 IT 不是未经思考而只按照指示一步一步去做。

结束前, 我想介绍著名益智游戏和图形设计家 Scott Kim 的一幅作品, 表现出“教”(Teach) 和“学”(Learn) 其实是一体两面 (Kim (1981)), 把 Teach 倒转来看便是 Learn !

诚然, 二千多年前中国古籍《礼记•学记》有这样的记载:“故曰: 教学相长也。〈兑命〉曰:“学学半。”

附录

参考数据

1. G. Highet (1950). The Art of Teaching, Vintage Books, New York.

2. S. Kim (1981). Inversions: A Catalog of Calligraphic Cartwheels, Byte Books, Peterborough.

3. A. McIntosh, D. Quadling (1975). Arithmogons, Mathematics Teaching, 70, 18-23.

4. E. E. Moise(1973).Jobs, training and education for mathematicians, Notices of the American Mathematical Society, 20, 217-221.

5. R. E. Moritz (1914). Memorabilia Mathematica, or the Philomath's Quotation-book, Macmillan Company, New York.

6. M. K. Siu (2000). "Less is more" or "Less is less"? Undergraduate mathematics education in the era of mass education,Themes in Education, 1(2), 163-171.

7. M. K. Siu andC. Tzanakis (2004). History of mathematics in classroom teaching: Appetizer? main course? Or dessert?Mediterranean Journal of Research in Mathematics Education, 3 (1-2), v-x.

8. M. K. Siu (2008/2006).Mathematics, mathematics education, and the mouse, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 42, 861-874;reprinted inMathematical Medley, 33(2) 19-33.

9. M. K. Siu (2014). "Zhi yɪ xɪ ng nán (knowing is easy and doing is difficult)" or vice versa? -----A Chinese mathematician's observation on HPM (History and Pedagogy of Mathematics) activities,in The First Sourcebook on Asian Research in Mathematics Education: China, Korea, Singapore, Japan,Malaysia and India, (Eds.) B. Sriraman, J. Cai, K. Lee, L. Fan, Y. Shimuzu, C. Lim, K. Subramaniam, Information Age Publishing, Charlotte,27-48.

10. Stendhal (1836/1961). Vie de Henry Brulard, Editions Garnier, Paris; written in 1835/1836.

11. 萧文强 (1995). 少者多也: 普及教育中的大学数学教育, 载于《香港数学教育的回顾与前瞻:梁鉴添博士荣休文集》,萧文强编, 香港大学出版社,109-118 页。

12. 萧文强 (2009/2010a).“不, 我不在数学课堂运用数学史。为什么？”, 载于萧文强, 《心中有数》,九章出版社,120-135 页; 大连理工大学出版社,155-173 页。

13. 萧文强 (2009/2010b). 数学、数学教育和鼠标, 载于萧文强 , 《心中有数》,九章出版社,31-49 页; 大连理工大学出版社,34-56 页。

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