不定积分的计算（如何理解不定积分的定义）

#创作挑战赛#

不定积分的定义总是伴随着原函数的定义的。想要理解不定积分的定义，就要理解原函数的定义及其重要定理。

定义1：设函数f与F在区间I上都有定义，若F’(x)=f(x), x∈I，则称F为f在区间I上的一个原函数.

注意，F只是f的一个原函数，说明有不止一个原函数，F是f众多原函数中的一个在而已。

关于原函数有两个重要的定理，第一个简单地说，是连续函数必定有原函数。即：

定理1：若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F’(x)=f(x), x∈I.

这个定理以后再证明，现在记住它就可以了。因为要证明它，需要用到变上限的定积分的知识。

定理2：设F是f在区间I上的一个原函数，则

1、F C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；

2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.

证明：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F C)’=F’=f，得证.

2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.

根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.

定理的第一点是原函数的充分条件，第二点是原函数的必要条件，合起来就成了充要条件。

关于“拉格朗日中值定理”这一句可能让不少小伙伴理解不了。怎么就跟拉格朗日中值定理有关了呢？

因为F-G在I上符合拉格朗日中值定理的条件，任取一个闭区间[a,b]属于I，就有((F-G)(b)-(F-G)(a))=(F-G)'(ξ)(a-b)=0，所以(F-G)(b)=(F-G)(a)。又这个区间是任取的，所以函数F-G就是一个常量函数，记为C。

对原函数的定义有了深刻理解之后，就可以来理解不定积分的定义了。

定义2：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作：∫f(x)dx，其中称∫为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量.

注：若F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{F C}, C为任意常数，写作：∫f(x)dx=F(x) C. 其中C为积分常量. 于是有：

[∫f(x)dx]’=[F(x) C]’=f(x)；【不定积分的导数，就是原函数的导数，结果等于被积函数。不定积分看作穿衣，求导看作脱衣，穿了脱，结果还是没穿。】

d∫f(x)dx=d[F(x) C]=f(x)dx. 【不定积分的微分，就是对原函数的积分，写成F'(x)dx就更容易明白了】

现在你理解什么是不定积分了吗？

最后再来看几个简单的例子，加深对不定积分定义的理解。

例：因为(sinx)’=cosx, 所以∫cosdx=sinx C.

因为(lnx)’=1/x, 所以∫1/xdx=lnx C.

因为(e^x)’=e^x, 所以∫e^xdx=e^x C.

因为x’=1, 所以∫dx=x C.

因为(x^2)’=2x, 所以2∫xdx=x^2 C.

你还能举出更多的例子吗？