正多面体只有五种是怎么证明的（为什么正多面体只有五种）

关于多面体的研究，人们很早就开始了，早在古希腊时期，著名思想家柏拉图就已经发现只存在五种正多面体，依次是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。柏拉图知识渊博，还曾痴迷几何学，为了深入研究几何，据说他在柏拉图学院的门口立了一块牌子，写着“不懂几何者，不得入内”。柏拉图发现了除了这五种正多面体，不存在其他的正多面体，但直到去世也没有给出严谨的证明。这样有过了大概2000年，对这个问题的研究才有了大的突破，其中欧拉定理的发现是关键。在数学中，以“欧拉”命名的定理和公式太多了，数论里面的欧拉定理是关于同余的性质，把数学中三个最著名的常数联系起来的欧拉方程被称为数学中最美的方程，在几何里面，欧拉定理表达了简单几何体面、棱、顶点个数之间的关系：F V-E=2。其中F代表面数，V代表顶点数，E代表棱数。将几何体看成是由橡皮膜做成的，如果向里面充气，它变成球体，则这样的几何体是简单几何体。现在给出一个用擦除法证明欧拉定理的过程，这个证明很有趣，而且也不需要太多前置知识，只需要基本的小学几何知识就能看懂该证明。

首先把立体图形变为平面图形。可以想象将简单几何体的其中一个面放在地上，有某种投影使得除组成这个面的顶点之外的所有顶点都投影在这个面内，并且不同的顶点不重合。这样立体图形里的顶点对应于平面图形中线段的交点，面对应于线段围成的封闭的区域，棱对应于平面图形中的线段。因为投影的时候没有顶点重合，所以平面图形中的交点数等于顶点数，线段数等于棱数，只是封闭区域数比面数少1个。设交点数为x=V，线段数为y=E，封闭区域数为z=F-1，弄清楚它们之间的关系，也就弄清了原立体图形F,V,E之间的关系。

第二步，添加线段使得所有封闭区域变成三角形。易知我们增加了多少条线段，也就增加了多少个封闭区域，所以新图形的z-y不变，于是新图形的z x-y没有变化。

第三步将最外面的线段去掉，可以看到每去掉一个线段，也去掉了一个面，而顶点并没有改变。所以变化后的图形z x-y没有变化。

第四步将外面的角去掉，可以看到每去掉一个角，去掉了两条线段和一个顶点和一个封闭区域，这样z x-y依然没有变化。

​重复使用第二步和第三步，这样最终得到一个三角形，z x-y=1 3-3=1，由于在变换中z x-y始终不变，所以F-1 V-E=1,这样F V-E=2，定理就证明了。

​

​

接下来应用欧拉定理证明为什么正多面体只有五种。由于是正多面体，每个面是全等的正多边形，所以设一个面有m个边，包含m个顶点，设每个顶点关联n条棱，由于每一条棱都被两面共用，每一条棱都被两个顶点关联，于是

代入到欧拉定理里有

可得到一个不等式

我们知道最小的正多面体就是正四面体，它的m=3,n=3,

当m=3,n=3时，E=6,对应的是正四面体；

当m=3,n=4时，E=12,对应的是正八面体；

当m=3,n=5时，E=30,对应的是正二十面体；

当m=4,n=3时，E=12,对应的是正六面体；

当m=5,n=3时，E=30,对应的是正十二面体；

仅有这五种情况。