初高中存在的学习问题可研究（挑战初高中衔接之轨迹问题）

对初中生来说，“轨迹”是一个比较抽象的问题，但在高中数学中的学习是非常有用的，也是非常重要的．由于学生对动点的运动轨迹理解存在问题，导致此类题型无所适从，不知该从何下手.在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系．

【预备知识】

六种常用的基本轨迹：

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线．

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线．

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆．

⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧(端点除外)．

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

对于中考数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧。

在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系：如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变。因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点。

【例题解析】

类型1 直线型

常考有（1）平面内到定直线的距离等于定长的点的轨迹是直线（线段）；（2）平面内与两直线的夹角为定角的点的轨迹是直线（线段）。

例1．（2018•江阴市二模）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥PA交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（ ）

A．2 B．1 C．4 D．√2

【分析】由题意知：PQ⊥AP，即：∠APB ∠QPC＝90°，∠BAP ∠APB＝180°﹣∠B＝90°，所以∠QPC＝∠BAP，又∠B＝∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性质可得：BP/CQ=AB/PC，CQ＝PC/AB×BP，又BP＝x，PC＝BC﹣BP＝4﹣x，AB＝4，将其代入该式求出CQ的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，OM＝1/2CQ＝1/2．

【解答】如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°

∵PQ⊥AP，∴∠APB ∠QPC＝90°∠APB ∠BAP＝90°

∴∠BAP＝∠QPC，∴△ABP∽△PCQ

∴BP/CQ=AB/PC，即x/y=4/(4-x)，

∴y＝﹣1/4x² x＝﹣1/2（x﹣2）² 1（0＜x＜4）；

∴当x＝2时，y有最大值1cm．

易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO＝1/2CQ＝1/2，

∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．

【点评】本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点M的运动轨迹．

例2．（2018春•镇江期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝9，AD＝12，点E、F分别是AB、AD的中点，点H是线段EF上的一个动点，连接CH，点P是线段CH的中点，当点H从点E沿着EF向终点F运动的过程中，点P移动的路径长为________．

【分析】如图所示，当点H与点E重合时，中点P的位置为P₁，当点H与点F重合时，中点P的位置为P₂，点P运动的路径即为P₁P₂的长度．要求得P₁P₂的长度，即要求出EF的长度，EF的长度可以根据勾股定理求出．

【解答】如图所示，当点H与点E重合时，中点P的位置为P₁，当点H与点F重合时，中点P的位置为P₂，点P运动的路径即为P₁P₂的长度，

【点评】本题考查轨迹、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会取特殊位置，正确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．

类型2 圆弧型

常考的有（1）平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆（圆弧）；（2）平面内与两定点的张角（定弦定角必有圆）是定角的点的轨迹是圆。

例3．（2018•靖江市二模）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为　 　．

【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．

【解答】如图，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，

∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，

∵O′E BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，

最小值为O′B﹣O′E＝√13﹣2

【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中 压轴题．

例4．（2018•贵阳中考题）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．

（1）求∠OMP的度数；

（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．

【分析】（1）先判断出∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；

（2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO＝135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C＝90°，最后用弧长公式即可得出结论．

【解答】（1）∵△OPE的内心为M，

∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°﹣1/2（∠EOP ∠OPE）＝180°﹣1/2（180°﹣90°）＝135°，

（2）如图，∵OP＝OC，OM＝OM，

而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM，

∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；

点M在扇形BOC内时，

过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，

在优弧CO取点D，连DA，DO，

∵∠CMO＝135°，

∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，

【点评】本题考查了弧长的计算,同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．

【归纳小结】对于变化万千的题目，如何抓住本质？一般来说，初中阶段的题还是以定角为背景，我们可以一分为二来看．若边不变，则“定边对定角”，三角形外接圆是不变的，在这不变中，我们可以求定值，如弦长，运动的轨迹长．也可以寻找其中变化的量，来求线段的最值．若边在变化，则“动边对定角”，三角形外接圆处在变化中，我们要找其中的不变量或者变量之间的不等关系来建立不等式，从而求出（最）值．

牛刀小试：

1．（2018秋•江汉区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，点D是AB上一点，以CD为边作等边△CDE，使A、E位于BC异侧．当D点从A点运动到B点，E点运动的路径长为_______

2．（2018•港南区二模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为_______

【练习答案】1. 3；

2．2π/3

【提示】因为∠AFB＝90°，推出点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，求出圆心角∠BOM即可解决问题；

简单地说求轨迹问题解题策略：1.特殊探究，一般推证；2.动手实践，操作确认；3.建立联系，计算说明。

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