最全基本不等式10个题型归纳讲义（习题帮之基本不等式大总结）

习题帮用了接近一个月的时间刷了近50道IMO级别难度的不等式题目，有同学认为，现在不等式早已经不是竞赛的宠儿了，为什么还这么痴迷不等式。其实这是一种误解，因为不等式的应用远远超过大家的想象。甚至在高等数学中，比如数学分析，实分析，复分析，泛函分析，微分方程，数值分析，优化等数学分支中，都存在大量不等式的应用。很多不等式的应用背景都非常深刻。当然我们不能在这么短时间接触这么高深的内容，不过A.RAY老师至少可以给大家做一个小小的总结，总结一下中学阶段，尤其是竞赛中常用到的一些不等式。这些不等式也都是前面二十期 习题帮 作业中出现过的。

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1.AM-GM（均值不等式）

均值不等式，是中学阶段学习的最重要的一个不等式，是最最基本的不等式，不要以为这个不等式太简单而小瞧它，能真正掌握它的人，可以在不等式证明中得心应手。不信的同学，请挑战后面的练习。

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2.柯西不等式

柯西不等式也是中学中常用的不等式，由于形式变化多样，从而应用广泛！

典型例题（解答参见 习题帮 不等式 （二））：

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3.排序不等式

排序不等式的应用非常有技巧性！如果有自然序，或者对称的情况下可以考虑！

典型例题(解答参见 习题帮 不等式（四））：

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4.Holder不等式

比柯西更一般的不等式，Holder不等式。

典型例题：

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5.Chebysheve不等式

切比雪夫不等式也是需要在有排序的情况下使用，不同于排序不等式的是，它不是顺序和倒序和之间的比较，而是先求和再乘积 与 先乘积再求和之间的比较！

典型例题（解答参见 习题帮 不等式 （十八））：

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6.Schur（舒尔）不等式：

舒尔不等式很强大，可以推到出很多的有用的等价形式。

典型例题（解答参见 习题帮 不等式（十一））：

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7.幂平均不等式：

幂平均不等式形式比较复杂，所以应用之前，需要仔细观察！

典型例题（解答参见 习题帮 不等式 （十九））：

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8. Jensen不等式：

在凸分析中，Jensen不等式是最最基本的不等式，而凸函数各种优良的性质也是基于Jensen不等式！

典型例题（解答参见 习题帮 不等式 （十七））：

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9.权方和不等式：

如果有持续关注本公号的同学，可以从前几期中看到权方和不等式真的是“太好用了”！只要分子分母的次数相差1，就可以考虑权方和不等式，在应用中，往往需要构造相差为1的次数！

典型例题（解答参见 习题帮 不等式（十九））：

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