欧几里得例题（欧几里得证不出的施泰纳-雷米欧司定理）

有的几何定理很好证明，但是，逆定理的证明却很难。把一个命题的条件和结论对调一下，就是逆命题。如果命题和逆命题都得到了证明，就成为定理了。

等腰三角形的两条底角平分线相等很好证明，但是反过来，逆定理的证明却很难。2000多年前，欧几里得在《几何原本》中就给出了这个定理的证明。逆定理，就是施泰纳-雷米欧司定理，有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形，是否成立呢？

欧几里得心知肚明逆定理是成立的，但是苦于无从下手，在《几何原本》里未能证明这个简单的几何事实，交了白卷。

到了2000年后，问题迎来转机。19世纪的数学家雷米欧司（Lehmus）特别指出这是一个看似简单但难以入手的难题。这个问题的提出，引起了瑞士著名几何学家施泰纳（Steiner）的强烈兴趣，他给出了第一个证明。后来，在100多年的时间里，人们对施泰纳-雷米欧司定理给出了上百种证法。

新概念几何63页截图

如图所示，已知△ABC是等腰三角形，证明两条底角平分线BP和CQ相等很容易。只需证明△APB和△AQC全等就行了。

但是，已知底角平分线BP和CQ相等，证明AB=AC就很难。利用新概念几何提供的解题工具——共角不等式（广义共角定理），可以得到一个简单的证明。具体细节请大家看下面的链接：https://m.toutiao.com/is/FKsKUrN/?=用面积关系解几何题：献给七年级学生的（最后一个）儿童节礼物 - 今日头条

链接里最后几张图是张景中先生的证明的抄录。

万事开头难，第一个证明是困难的，也体现了施泰纳的才华横溢。

1840年，数学家雷米欧司（ Lehmus ）发现命题：两内角平分线相等的三角形是等腰三角形。很难用纯几何方法证明，于是他写信给斯特姆（ Sturm )，而斯特姆又将问题提供给一些数学家，第一个给出回答的是瑞士几何学家施泰纳（ Steiner )。故人们将这个问题称为“施泰纳-雷米欧司定理”。

斯坦纳的第一个证法，通过几何旋转变换，而巧妙地推出结论。

证1：如图1。设 BD 和 CE 为 △ABC 的角平分线，若∠ B ≠ ∠C ，不妨设 ∠B > ∠C ,则 ∠DBC > ∠ECB , ∠BDC > ∠BEC 。

∴ DC > EB ......（1）

又作△ E'BC≌ △ECB （即旋转变换），则

∠BDE'= ∠BE'D 、 ∠CDE' > ∠CE'D

∴ CD < CE'=EB ......（2）

(1）与（2）显然矛盾，反之 ∠B < ∠C 也不成立，故有∠B =/∠C . □

自定理提出，就引起欧州数学家的极大兴趣，从1840年至1855年期间，至少发现了15种证法，而且在1842、1844、1848、1854-1864年的各种杂志上，有许多文章涉及到这个问题。

显而易见，直接证法难度更大，于是人们又开始寻求定理简单的证法。大约于1940年前后，有人基于法国数学家仑巴菲特（ Rebaffet ）的引理“三角形中大角的平分线小些”，利用反证法，给出了一个较简单的证法。但美中不足的是引理的证法，如同定理一样困难。进入本世纪中期后，人们对定理的兴趣更加浓厚，在60年代的一篇综合报逍中，指出定理的证法已达60余种。到了80年代，定理波及到世界各地。

首先，被人们普遍认为最简单的证法，于1980年前后刊于加拿大的《难题》上，其

简炼的程度不仅使人惊叹：重要的是其证法，完全可拓广到非欧几何中的“施泰纳定理”。

这个定理肯定会被《数学名题词典》收录，于是想到查阅资料。结果不查不知道，查阅有惊喜，真是开卷有益啊！

在词典中，这个条目称为“施泰纳-莱默斯定理（Staeiner-Lehmus theorem）”。条目由张景中先生和涂荣豹联合撰写。

我们来看看词典提供的漂亮证明。下面的证明是两个英国工程师G.Gilbert和D.Macdonnell提出，发表于1963年《美国数学月刊》。

通过查阅资料，不仅得到了漂亮的证明，还得到了计算三角形内角平分线的公式。这是一个意外的惊喜，得到的超过了你的期望。

除此之外，还有一个计算公式，请看下图：

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

祝大家端午安康！[呲牙]