如何求三角形中的内切圆（一个三角形和内切圆的问题）

一个三角形和内切圆的问题

孩子们在画图时经常为组合很多图案，如图，三个粉圆半径相等，有两个白圆与两个粉圆内切于镶嵌在直角三角形的正方形内，另外一个绿圆和粉圆都与三角形和正方形相切。若白圆半径t, 大的氯圆半径为R, 证明R=2t.

证明：如图虚线的小三角形利用勾股定理有，

r2 (2r-t)2=(r t)2

由此解得r=3t/2 (1)

在三角形ABC中，利用面积的公式有

2S=r(a c 4r) (这里用到的公式是三角形内切圆半径和三角形三边求圆的面积公式)

2S=4ra

所以a c 4r=4a

得出c=3a-4r

带入勾股定理：

解得a=3r, （2）

显然c=5r,

这是一个有趣的三角形，符合勾三股四弦必五的直角三角形。

在下面的大的直角三角形也存在类似的关系，根据相似性可知：

按照（2）式类推:

4r=3R,

将（1）式的r=3t/2 带入上式有：

R=2t

后记：有关3， 4， 5所构成的直角三角形无论是勾股定理还是其逆定理都是非常有名的。