数学的几何证明（数学证明也能很优美）

数学的第一检验标准就是优美，这个世界上没有什么丑陋数学是可以永久存在的——高德菲·哈罗德·哈代（著名英国数学家）

在一项研究中，人们发现数学家在看到优美数学公式时大脑的反应跟普通人看到伟大的艺术或者听到优美的音乐的时大脑的反应是一样的。如果你问数学家什么才是最美的，那么你可能会得到不同的答案。有些会认为对称很优美，有些会说黄金比例，也可能有人会说是结论优雅。但是这里我还想加上两点，那就是简洁和直观，下面是一些非常简洁直观并且优美的数学证明：

1、毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理又称为勾股定理。即直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方之和。这个定律是由毕达哥拉斯（公元前560-480年）或者毕达哥拉斯学派的某些人提出来的。然而直到欧几里得（公元前300年）发表他的《几何原理》，这个定理才算首次得到严格的证明。这个定理的证明方式有很多很多种，目前发现的证明方法至少有114种。其中数学家Bhaskara的证明方法最为简单——他画了下面的图形，然后说了一句“证明完毕！”。

2、简单数列求和

这可能不是一个严格的数学证明，但是能好地说明整个求和过程。

说到这里，有一个关于数学家的笑话。话说有一群无限多的数学家走进了一家酒吧。第一个数学家点了一杯啤酒，第二个点了半杯，第三个点了1/4杯，然后酒保制止了他们，直接给他们倒了两杯啤酒，并说道“一帮傻瓜！”。

3、立方求和

在数论中，关于自然数列的和的平方和它们的立方和之间有很神奇的相等关系。第一直观的感觉是，如果要做图形化的证明，可能需要用到立体三维图，但是一个优雅简洁的证明，一个二维图就可以解决了。

这是一个15*15的方格图，其中每种被标记的颜色代表自然数列中的数字。很显然，整个方格的面积等于(1 2 3 4 5)*(1 2 3 4 5)。如果我们考虑那些没有被涂上颜色的方块面积，把他们跟相邻的方块涂成同一种颜色，那么我们可以发现，各种颜色的面积刚好等于一个涂色方块面积的n倍。

因此我们可以得到：

4、点和线

考虑下面的一个点阵：

我们将它来证明下面的公式：

怎么做呢？首先我们来看看，把这些点用线连接起来会怎么样。

我们可以看到第一个红色的点没有线连接，第二个浅蓝色的线有3个点，第三个深蓝色的线有5个点，……直到最后一条线有2n-1个点。这个点的个数相加，刚好等于点阵中点的个数。

5、1 2 3 4 …无限序列

跟上面立方求和证明一样，我们先画一个格子。这次的格子是一边的长度为n，而另外一边的长度为n 1。

整个方格的面积为n*(n 1)，但是我们考虑整个面积的一半，我会立刻发现它刚好是自然序列的和。

6、x^2 - y^2 = (x y)(x-y)

左边是一个大的正方形（边长为x）和一个小的正方形（边长为y）。其中被扣去的空白部分为小正方形，因此左边图形的面积刚好为x^2 - y^2。

做完减法之后，我们可以发现把不同的部分按照图示涂色之后，这两个长方形刚好可以重新排列组合成一个大的长方形，其一边刚好为(x y)而另外一边刚好为(x-y)。

7、奇偶交替加减求和

左边是n为奇数的情况，而右边是n为偶数的情况。

8、自然序列平方求和的方块证明

首先把1^2, 2^2, …, n^2个立方小方块组成一个金字塔形状，拿出三个这样的形状，重新错位安装，这样就会多出顶上的一部分，将其砍成两半，组合起来刚好就得到一个立方体。其中方块的个数刚好就是1^2 2^2 ... n^2个。

9、自然序列平方求和的三角证明

如图，显而易见。

10、平分

现在要证明，平分一个直角三角形的直角的线，刚好也平分其斜边组成的正方形面积。

我们只需要将正方形的各个边抖补上直角三角形即可：

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