世界著名女数学家（她成为德国历史上第一位女性数学讲师）

学物理的人大概都知道著名的诺特定理，它解释了对称性和守恒定律之间的根本联系。这里的诺特就是被爱因斯坦形容为“女性受高等教育以来最杰出的学者”的数学家埃米·诺特（Emmy Noether）。在25岁以最优等取得博士学位后，她一直无薪无职地在大学教书，直到37岁那年，她第一次在数学圣地哥廷根大学获得了私讲师资格。终于，在整整一百年前的六月，这位德国历史上的第一位女性数学讲师面对着希尔伯特、克莱因、柯朗等大人物讲授了成为私讲师后的第一堂课。诺特一生简朴，她全然沉醉于数学世界的抽象概念中，或许对于她而言，这就是心中最完美的世界。

撰文 | 颜一清（辅仁大学数学系）

1 楔 子

1964年在纽约举行的万国博览会中有一室专门开辟成与数学有关的展览。其中有IBM所提供的、很出色的约十三尺长壁画。题名为《现代数学名人录》，列出约从十世纪到当时的数学发展史。早些世纪的以艺术，特别是建筑物来表达。从十六世纪以后就列出数学家们的肖像，并附上他们的简历与成就。有八十幅左右的人像画集中在约十四平方英尺的面积里面。其中只有一幅是女士，她便是埃米·诺特（Amalie Emmy Noether）。由照片看来她是一位充满智能、有创意而和蔼可亲的人，不过一点也称不上漂亮。围绕着她的肖像有刘维尔（Joseph Liouville，1809-1882）、康托尔（Georg Cantor，1845-1918）、希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）等重量级数学人物。^[1]

从左到右为刘维尔、康托尔、希尔伯特与诺特。刘维尔的主要贡献是对双周期椭圆函数、微分方程边值问题、数论中代数数的丢番图逼近问题和超越数的研究。康托尔是现代集合论的创立者。希尔伯特是历史上最具影响力的数学家之一，他提出了不变量理论、公理化几何、希尔伯特空间等思想概念，著名的“希尔伯特的23个问题”对数学的发展起了积极的推动作用。诺特彻底改变了环、域和代数理论，她最著名的成就大概要属物理学中解释对称性和守恒定律之间根本联系的诺特定理。

2 家 世

埃米·诺特在1882年3月23日出生于德国埃朗根市的一个犹太家庭里。父亲是Max Noether，母亲是Ida Amalia Kaufmann。

Max Noether（1844.9.24- 1921.12.13）是埃朗根大学的教授，为当时的代数几何学与代数函数论的权威。Max的祖先从事五金批发。父亲Elias Samuel（1774?-1846）在1797年左右从德国黑森林的北方地区搬到犹太人较容易被接纳的布鲁萨尔。当时这里是巴登大公的属地。1809年，巴登大公诏令每一犹太家庭的家长须为他的家族取当地传统的姓氏。因此Elias Samuel就由Netter（出自Nathan）改姓为Noether（官方纪录为Nöther）。他那些未搬出的亲戚们仍姓Netter。他的一子Hertz改名为Hermann Noether。

Hermann是他家庭中第一个受高等教育的人，他在曼海姆的 Klaus School学过神学，不过后来还是从事祖业。Hermann的太太Amalia Würzburger是曼海姆人。她的父亲虽然是生意人，可对数学有兴趣。Hermann夫妇生了三男二女。小儿子Max不想做生意。Max不幸地十四岁时得了小儿麻痹症，终其一生都跛脚。所以他大学以前的教育都是在家里完成的。后来Max在海德堡大学学数学，得了无须论文的博士学位，他在那儿教过一阵后1875年到埃朗根大学教书。

Max在1880年因他的资历与背景，娶到了科隆非常富有的犹太家庭之女Ida Amalia Kaufmann（1852- 1915）。她有兄弟姊妹十个，有事彼此都很帮忙。Ida Amalia的祖先几代都在莱茵低地区。他们因从事牛只买卖与屠宰业而致富。

Max与Ida Amalia除了Emmy外有三个儿子：Alfred（1883-1918）、Fritz（1884-1928）与Gustav Robert（1889-1928）。他们的生活安定，家庭气氛祥和，并有知识阶级的气息。

诺特与她的兄弟Alfred、Fritz和Robert。| 图片来源：Konrad Jacobs, Erlangen

3 埃朗根时期

Emmy小时候功课并不怎么出色。她有平凡的面孔，还带一副近视眼镜。不过老师和小朋友们都知道她聪明、友善、很讨喜。

1889年至1897年，Emmy念埃朗根的女子高等学校。课程内容差不多是现今的中学程度，没有拉丁文，而德文、法文与数学程度可能高一些。Emmy也免不了中等阶级的习俗，学了钢琴。可是她的程度只止于弹奏《快乐的农夫》（舒曼的作品，一首初级程度的演奏曲）的程度而已。她也做家事，但不会喜欢。课余她喜爱念英文与法文。她还有一个嗜好：很爱跳舞。她常常巴望有机会参加教授们的家庭舞会。家长们也都嘱咐儿子们要邀请Emmy跳舞，可是男生对她不感兴趣。

1900年Emmy十八岁了。四月她参加巴伐利亚省的英文和法文的教师资格考试。考试成绩分成十二等级，第一级最高。Emmy两学科的平均分数考到1.2级，很不错。这样，她拥有英文和法文教师的资格了。但是家庭环境使然吧，Emmy想深造。依她的个性，她是温顺的，要读大学在当时是一件违反习俗、非常叛逆的行为。不过时机帮上了忙，德国的大学之门逐渐开放给女生了。最先在1901年巴登省的弗莱堡与海德堡两大学准许女子入学，直到1908年各大学才许可男女同校。埃朗根大学在1900年左右规定 “在授课教授同意之下女生才可以旁听，不得参加考试”。 ^[1]

1900年至1902年，Emmy在埃朗根大学旁听之余，也准备考纽伦堡有好名声的皇家准古典教育学院的学位，以便取得进大学的资格^[2]。1903年6月4日她考试通过。过后她在1903/04的冬季学期在哥廷根大学当旁听生。教授有天文学家史瓦西（Karl Schwarzschild，1873-1916）、数学家闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）、布鲁门撒尔（Otto Blumenthal，1876-1944）、克莱因（Felix Klein，1849-1925）与希尔伯特。一学期后她回埃朗根，这时候埃朗根大学已经准许女子入学了。

1904年10月24日，Emmy得到埃朗根大学的入学许可，登记号码是468。她只选数学为学习科目。数学属于哲学院第二部门。入学时，共有男生46名，她是唯一的女生。

比Emmy小一岁的大弟Alfred也进埃朗根大学的化学科。他除了1904/05冬季学期在弗莱堡外都待在埃朗根，并在1909年获得博士学位。但是在1918年第一次大战末年的物质缺乏与诸多不便中，他因体弱早逝了。Emmy的二弟Fritz在埃朗根与慕尼黑学数学与物理。他在Aurel Voss（1845-1931）指导之下拿到慕尼黑大学的博士学位。因此，在1900年代，诺特家有三个孩子从家里赶路到埃朗根大学上课。Emmy与Fritz也上过他们父亲的课。当时Max Noether与哥尔丹（Paul Gordan，1837-1912）教数学部门的主要课程。

在哥尔丹的影响之下Emmy做不变量理论的研究，写了博士论文“On the construction of the system of forms for the ternary biquadratic forms”（英译），发表在 Journal für die reine und angewandte Mathematik（又称 Crelle’s Journal）134, 1908, pp23-90。1907年12月13日，Emmy以最优等通过博士学位的口试。

不变量理论的古典课题研究的是在线性群作用下保持不变的多项式函数。这张表格来自于诺特关于不变量理论的论文（Noether 1908）。其中收集了不含奇次幂的三项四次型（ternary biquadratic forms）的331个不变量中的202个。| 图片来源：Wikipedia

1908年开始，Emmy在埃朗根大学无薪无职地工作。她一边为自己做研究，一边照顾老父。Max生病时她就替他上课。这时候她已然决定要终身献身数学了。1908年她成为意大利巴勒莫数学学会会员，1909年她又成为德国数学学会（DMV）会员。DMV的年会可以使年轻的数学家们聚在一起交谈，彼此沟通，也看得到那些大牌们在做些什么。早些年Emmy是与会者中唯一的女性。Emmy很喜欢这种集会，她说这是在“谈数学”。从1909年至1929年，她一共在 DMV中演讲过九次，并在1928年、1932年的国际数学家会议中演讲了两次。

哥尔丹在1910年退休，继任者是Erhard Schmidt（1876-1959），后来由Ernst Fischer（1875- 1954）继任。Fischer的的确确是Emmy的好导师。Fischer引导 Emmy从哥尔丹的演算方式的研究转变成为采用希尔伯特的抽象代数模式来研究不变量理论。Emmy与Fischer经常“谈数学”。他们都住在埃朗根，在学校里也常有见面的机会，可是他们还是很勤快地写明信片讨论数学。通讯期间从1911年持续到1929年，尤其在Fischer被征调当兵的1915年信写得最勤快也最多。难能可贵的是Fischer把这些信珍藏到二次大战后。

诺特有时会用明信片与Ernst Fischer讨论抽象代数问题。图中的明信片标注的日期是1915年4月10日。

往后Emmy走向抽象代数的研究，对以前写博士论文那一段时期使用的不变量理论形式化的运算方式不复记忆。当有人提及她的博士论文时她会说“那只是一堆杂碎”。

Emmy在1913年间在维也纳待过一阵，有时她会去拜访数学家Franz Carl Joseph Mertens（1840-1927）。Mertens的孙子描述他当时对Emmy的印象，说:“她像从偏僻地区来的神父般穿及踝的黑长袍，套上难以名状的外衣，在短发（当时的女人稀有）上带着一顶男用帽子，还斜背着皮包，就像帝政时代的铁路督导员那般。看来她的年纪近三十岁。”^[1]

1914年5月，Emmy完成论文“Fields and systems of rational functions”（英译）。她承认Fischer与她的讨论引导了她对抽象代数学的兴趣，让她决定她日后研究的方向与目标。这是她在Fischer影响之下写成的第一篇论文。因深入研究希尔伯特的n变数不变量的问题，她在当时已经被认为是有关不变量理论的专家了。^[6]

4 哥廷根时期

1915年4月底，克莱因与希尔伯特邀请Emmy去哥廷根大学（公立大学）当私讲师（Privat dozent，由学生付学费，不领学校薪水的讲师职）的候补者。他们请Emmy去哥廷根除了因为她是同行Max Noether的女儿，想给她一个工作机会外，主要是要借重于她对不变量理论的知识。他们当时在研究一般相对论，很用得着这方面的知识，而Emmy也真帮上了忙。

Emmy去哥廷根整两星期后，她的母亲Ida Amalia突然去世了，她早先只是在治疗眼疾而已，这很出人意料之外。Ida Amalia生前操持家务非常节俭，有空她喜欢弹钢琴自娱。Emmy与Fritz是她喜悦的源泉，但是Alfred与Gustav Robert体弱多病，常使她忧伤。1915年，即第一次世界大战第二年，Emmy为了多少要照料家，就哥廷根与埃朗根两地来回跑。

1915年11月，为要得私讲师资格，Emmy在哥廷根数学学会演讲“On transcendental integers”（英译）。但是因哲学部与历史部的教授们的反对而申请没有成功。他们反对的理由是性别问题。他们说：“让女性当私讲师，往后她有资格当教授，这样她就可以成为学校评议会会员。评议会会员怎么可以有女性？”希尔伯特很气忿地回答他们：“诸位，大学评议会并不是澡堂，为什么女性就进不得？”希尔伯特等人向教育当局申诉过，但是没有用，被驳回。希尔伯特无奈，从1916年冬季学期开始一直到1919年夏天，在他的名下开一些课，但是让Emmy以助教的名义讲解课程，不收费。^[1]

超越数（transcendental number）是指不是任何一个有理系数代数方程之根的实数或复数，比如最著名的超越数是e和π。所有实的超越数都是无理数，但反过来并不成立，例如黄金分割比虽是一个无理数，却不是一个超越数，因为它是多项式 x²−x− 1 = 0 的根。法国数学家刘维尔于1844年首先证明了超越数的存在性。| 图片来源：Wikipedia

在第一次大战世界期间（1914-1918），德国的海上运输长期遭到英军的封锁，德国境内物质非常缺乏。1918年末海军陆续有叛变，并继续扩大。到了11月7日，饥饿的人民发动革命，指摘德皇威廉二世领导国家无方。战事又节节败退的情况之下，德皇终于11月9日逊位，由刚成立的临时政府在11月11日11点与协约国签定停战协议，于是第一次世界大战宣告结束。直至1919年8月11日，德国国会在魏玛开会，德国才正式为魏玛共和国。

大战中参战双方死者逾九百万人，伤者约两千万人，他们大都是年轻男子。他们的死伤改变了各国的社会结构。妇女们须得出现在许多行业中，这使妇女们获得比战前更多的平等与自由，她们的社会地位随着也提高了。

社会形态的改变有利于Emmy申请私讲师资格了。Emmy在1917/18年间，专注于微分不变量的研究。1918年，她把结果写成“Invariant variational problems”（英译），发表在Göttinger Nachrichten, 1918, pp.235-257上。它便是 Emmy申请私讲师资格的论文。1919年5月21日，哥廷根同仁通过Emmy的资格申请，5月28日有论文演讲。于是6月4日她在柯朗（Richard Courant，1888-1972）、德拜（Peter Debye，1884-1966）、希尔伯特、克莱因、兰道（Edmund Landau，1877-1938）、Prandtl（1875-1953）、Runge（1856-1927）与Voigt（1850-1919）等大人物面前做她申请私讲师后的第一堂试课。

在Emmy名下的第一个课程是1919年9月22日至12月20日特别为退伍军人开的《解析几何学》。1919的冬季学期开始，Emmy有机会开她研究的专长科目了，如高等代数、有穷论、体论、数论、代数数论等。这些课程每星期都有四堂课。

学生们上Emmy的课所产生的反应走两极端。有些学生后来成为有名的数学教授。其中有一个人说他觉得Emmy没有充分准备课程内容。而且学生如果没有好好预习过，很难跟上她天马行空式的教法。有一回，上一点钟要结束的课时他在笔记边缘涂写：“好极，已经到十二点五十分了！”可是有些Emmy最出色的学生却说，上她的课是“很好的经验”，受益良多。这是因为Emmy上课时常以思考与推论方式渐进，以期能达到某一结果。她未必全部说完，以便听者有发挥的余地。她不会有头绪地把概论、定理等从头到尾清清楚楚地说出来。所以她授课的方式未必能迎合众人的胃口。

B.L. van der Waerden（1903-1996）在1923/24来哥廷根前已经是成形的数学家了。他来受教于Emmy，很快地吸收了Emmy的方法，加上他自己的观念，使抽象代数学得以发扬光大。他写的《近世代数》是脍炙人口、影响深远的代数学书。它的内容多少采用了埃米尔·阿廷（Emil Artin，1898-1962）与Emmy的授课内容。Van der Waerden就形容过Emmy上课的一个情景：Emmy要证明Maschke（1853-1908）的一个定理。她想以公理与概念的方式渐进，应该写很少，也用不着运算就可以导出结果来。她事先想过，没有完全做出来，她以为在课堂上可以推演得出来。但是眼看下课前没法子完成它，她生气了，扔掉粉笔，用脚去踩碎它，还叫出：“讨厌，我只能用我不喜欢的方式导出这个定理了！”就以传统的方式无误地证出Maschke定理来。^[1]

埃米尔·阿廷（Emil Artin）的主要贡献在代数数论领域，他对环、群和域等基本概念的整理亦有所建树。

Emmy上课时常把手帕塞在她的胸口。要用时她会不经心地抽出手帕来，使用完了她又塞回原处。她的头发可能早先是夹得好好的，但是上课后一下子这里一束、那里一绺地垂掉下来。她又长得胖，穿好的上衣经过上课时手的比画而变了样，那一副狼狈相成为上她课的学生们的看头。而上课时“正常班”的学生都占据前座。坐后面的旁听生半个小时后往往听不下去了，便退席。这时候前座的人会回过头来叫道：“敌人已被击败，退却了！”

Emmy对不苟同她的想法的人态度相当不友善。她会用她的大嗓门粗鲁地、还带嘲弄的语气把她的想法直接地说出来而得罪人。但是对需要她帮忙的人，她是慈爱而无私的。她会竭她所能去帮助人。她也时常与人分享她的创意。^[1]

Emmy是一位忠实的朋友，兼而是一位严苛的批判者。因此她很适合当数学杂志编辑。她的确也从事 Mathematische Annalen 的编辑工作多年，但是她这份工作也是不挂名的，这颇使她伤感。^[3]

Emmy在1915年赴埃朗根奔母丧后又几次回去奔丧：1918年是她大弟Alfred， 1921年是父亲，而1928年是她的幼弟Gustav Robert。因而她养成一种习惯，把她的哀伤、心思都默默地压在她的心底。可是一看到别人遇到同样的遭遇，她会表达出十分的同情心来。每当非犹太朋友帮助她时，她也由衷地表示感激。几次家人故去后，她的亲人只剩下二弟Fritz。他在弗罗茨瓦夫当数学教授。 Emmy跟他的家庭很亲近，也会跟他们一起渡假。Fritz生有两男，Emmy尤其宠爱有数学天份的小侄儿Gottfried（1915-1991）。他后来成为数理统计学家，1939年移居美国。Fritz一家人在1934年因纳粹的追逐移民到苏俄后，Fritz在西伯利亚Tomsk的“数学力学研究所”当教授。

1922年，哥廷根大学的自然科学与数学部门向教育当局申请Emmy的升等。 文件中说“埃米·诺特无疑是一位很出色的数学家，不适合当私讲师教大班学生的一般课程。她有能力影响一批优秀学生，其中有人甚至于有教授资格。”终于在当年4月6日，Emmy收到普鲁士（地方）科学部长发给她“非文官副教授”（nichtbeamteter Ausserordenticher Professor）的证书，也就是说，她虽然升任副教授，但是像私讲师一样不支薪。

不过Emmy还是满开心的。她写信给1920年代开始跟她合作，并研究非可换代数的Helmut Hasse（1898-1979）：“这个冬天我终于可以讲授有关超复数，这对于我和学生们都有趣多了。”^[1] 直到1923年柯朗（他除了数学外组织与管理能力也广被称许）当哥廷根大学的主任时替Emmy力争，她才得到“委任教学”（Lehrauftrag）的名义，也才领到少许薪水，一个月在200至400马克之间，而且这个“委任教学”每年还得复审。^[4]

1930年外尔（Hermann Weyl，1885-1955）继任希尔伯特的教授席。这在当时的德国是最崇高的地位。他认为Emmy在数学上各方面都比他强许多，他的职位却比Emmy高高在上，这使他不安。因此他向教育当局争取过她的名位，也争取Emmy成为哥廷根大学科学会会员，但是都没有成功。^[5]

外尔（Hermann Weyl）以及部分以他的名字命名的物理和数学对象。| 图片来源：Wikipedia

Emmy的生活一向很简朴。她起先无薪，即使在1923年后从国家获得的薪水也很少。她虽然稍有遗产，但是在她多病的幼弟生前，她几乎都把钱用在他身上。1933年她被普鲁士（地方）政府赶出职位时就靠这份遗产过日子。1934年她受聘美国的布林莫尔（Bryn Mawr）学院，她那些在普林斯顿的哥廷根老同事问她：“现在日子可以过得好些了吧！”她说：“哪里，我只花一半，一半要留给侄儿呢。”

有一次下着雨，Emmy虽然撑着伞，但不怎么管用，一个学生看不过去说“伞该修了”，她答：“是的，但是单知道没有用，不下雨时我不会想到它，下雨时我又用得着它。”

Emmy经常在一间简陋的餐厅里同一时间、同一座位上吃她同样的简单晚餐。 在礼拜天她也会在阁楼的房间里煮食，不过这时候差不多都有她的学生们在一起。在哥廷根，大家称Emmy为“Der Noether”（Der，男性冠词）表示尊敬，而她的学生们被称为“Noether boys”，她跟学生们被合称为“Noether family”。学生们往往从下午就跟她边散步边“谈数学”，最后落脚在她的住处吃晚餐，再继续谈数学。

外尔说：“Emmy这个人就像刚烘培出炉的面包，暖烘烘的。”^[5]她照顾她的学生无微不至，就像母鸡呵护小鸡般。她的学生遇到攻击，她是会很凶猛地反击的。可是她受到委屈，她可以一笑置之。就如，有一次她被“请出”学校的公寓，因为有一批学生提出抗议说：“不愿意跟亲马克思主义的犹太婆共屋顶”，而事实上她在1918年左右较亲社会民主党外对政治一向是不干不预的。

5 指导的学生们

在埃朗根时Emmy就指导过两次博士论文。第一次是指导Hans Falckenberg （1885-1946）。他是Emmy父执辈的孩子，也是弟弟Fritz的朋友。他在1911年拿到学位。后来当了吉森（Giessen）大学的数学教授。

Emmy在埃朗根与哥廷根来回跑的1915年间，兰道介绍给她 Dedekind（1831-1916）提出的问题：“任何置换群是否可为某一方程的伽罗瓦群？”她开始想这个问题。刚好那时候Fritz Seidelmann在埃朗根一所学校当讲师。早先他在慕尼黑大学跟Friedrich Hartogs（1874-1943）学过。当时他做出：“给定一群，可求得一四次方程”的特殊情形。他问Max Noether是否可以用它写成博士论文，Max Noether认为他的题目与Emmy研究的课题相近，就将他介绍给Emmy。Emmy建议Seidelmann用参数表示法试一试。结果他成功地做出三次和四次方程的一般情形。写成的博士论文是：“The set of cubic and biquadratic equations with affect over an arbitrary field”（英译）。1916年付印，他还写着：“献给埃米·诺特博士”。他以最优成绩通过口试，Emmy跟他一样，好高兴！Emmy也完成了一篇“Equations with preassigned group”（英译）, Mathematische Annalen, vol.78 (1917/18)。它是这类问题在当时的最佳文献。

在哥廷根大学Emmy指导博士论文的第一人是Grete Hermann（1901-1984），她在1925年2月25得到学位。过后Grete一直很感戴Emmy的指导。Emmy指导的其他哥廷根大学的博士学位的学生都是男生。跟Grete Hermann差不多时候有Rudolf Höfzer（1903 -1926）与Heinrich Grell（1903-1974）。Rudolf Hölzer完成论文但未得学位前因肺病在23岁病亡。Grell在1926年得学位，后来当洪堡大学教授。Emmy对Grell的评价很高。Grell对Emmy也很感恩。因他，Emmy的“Ideal differentiation and the difference”（英译）,Journal für die reine und angewandte Mathematik 188, 1950, pp.1-21才得以付梓。这是 Emmy遗留下、生前未及出版的著述。

Grete Hermann因为关于量子力学基础的哲学工作而著名，1935年，她针对冯·诺伊曼提出的量子力学的隐变量理论是不可能的发表评论，但这个评论被长期忽视，湮没无闻数十载。

Emmy的另一个学生Werner Weber（1906-1975）在1929年得博士学位。他在 《Dedekind 全集》的编纂及van der Waeden的《近世代数》第一版上帮了些忙。

Jakob Levitzki（1904-1956）在乌克兰出生，之后全家移民到巴勒斯坦。他从特拉维夫来哥廷根念书，经济情况很差。Emmy尽力替他申请助教奖学金。后来他拿Sterling奖学金在耶鲁大学学习。1931年起在希伯来大学教书。在美国与巴勒斯坦他的表现俱佳。

1930年经Emmy指导拿到学位的有Max Deuring（1907-1984）。Emmy对他的期许很高。他写的《非可换代数》很符合Emmy的意思。后来他在马尔堡与汉堡教书。1950年后在哥廷根教书当到永久教授。台湾清华大学的徐道宁教授是Deuring的学生。（博士学位口试：1961年12月20日）。

1931年由Emmy指导而获得博士学位的有Hans Fitting（1906-1 938）。他后来在柯尼斯堡大学当讲师，但因骨癌在1938年32岁去世。至今在代数构造中留有 Fitting’s lemma、Fitting’s radical这些名词。1933年Emmy指导的学生还有 Ernst Witt（1911-1991）。他因1933年6月的考试与入营卡在一起，Emmy又已被停职，由G. Herglotz（1881-1953）当审稿者。^[1]

中国学生曾炯之（1898-1940）的论文题目是“Algebras over function fields”（英译）。他由Emmy指导论文，但是他的论文口试在1933年12月6日Emmy赴美之后。曾炯之后来回中国大陆，1935至1937年间在浙江大学当教授，1937年后在天津北海大学教书，中日战争时他随校辗转迁移到四川，在 1940年病逝^[6]。他在代数学上留有Tsen’s Theorem。

Emmy在哥廷根最后指导的学生是Ottosschiling（1911-1993）。他同时也研究Hasse的专长。Emmy赴美后一年（1934），他在Hasse所在的马尔堡大学得到博士学位，一年后他也移居美国。他最出色的著作是“The Theory of Valuations”（1950）。^[1]

6 埃米·诺特与学者们

哥廷根大学在十九世纪有高斯、黎曼，二十世纪有克莱因与希尔伯特等数学大师，蔚然成为“数学界的麦加”；许多国家的数学家都想赴哥廷根大学“朝圣”一番。第一次大战后哥廷根的数学阵容有希尔伯特、诺特、兰道、C.Caratheodory（1873-1950）、柯朗（接克莱因的教授席）、Herglotz、 外尔等人。来哥廷根浸洷在诺特圈的法国数学家有A. Châtelet（1883-1960）、C. Chevalley（1909-1984）、A. Weil（1906-1998）、Jacques Herbrand（1908-1931）。后者很优秀，但因登法属阿尔卑斯山失事而早亡。朋友们为纪念他出了一本刊物，其中有Emmy生前最后一篇文章“Splitting crossed products and their maximal orders”（英译）, Actualités Scientifiques Industrielles, Paris, 148（1934）。Emmy悲叹：“我不能忘怀Herbrand的早逝。”

日本学人从东大来哥廷根跟Emmy学习的有高木贞治（1875-1960）的高足正田建次郎（1902-1977）与末纲恕一（1898-1970）。在Emmy的影响之下，正田建次郎在1932年写出《抽象代数学》。^[6] 末纲恕一在1950年出版《解析的整数论》等，这些书广被使用，成为日本代数学家走向国际舞台的诱因之一二。又，正田从1935年至1961年担任大阪大学校长。他是Osaka Journel of Mathematics与日本数学学会的成立的一位关键性人物。

美国学者中有Solomon Lefschetz（1884-1972）、Oswald Veblen（1880-1973）、Saunders Mac Lane等来哥廷根。Lefschetz的想法与Emmy相近，Veblen对以后德国数学家移居美国帮了大忙。^[1]Mac Lane听过Emmy的课。他与G. Birkholf（1911-1996）合著的“A survey of Modern Algebra”出过好几版，是一本著名的代数书。

苏俄数学家亚历山德罗夫（P.S. Alexandrov，1896- 1982）是莫斯科大学教授。他英、德语都很流畅，从1923年起他经常来德国，尤其几次到哥廷根大学当客座。他跟Emmy不但是好朋友，他还很尊敬她。Heinz Hopf（1894-1971）与亚历山德罗夫的交谊很深，他们常彼此沟通想法。他们在拓扑学的代数化上的确受过Emmy的影响。又亚历山德罗夫在当时赤化的苏俄可以自由出入苏俄国境，对东西欧文化，尤其是数学的交流与推展功不可没。

亚历山德罗夫是前苏联著名数学家，对创立和发展集合论和拓扑理论作出了重大贡献。

Emmy跟苏俄数学家，如数学家兼北极探险家Otto Juljewitsch Schmidt（1891- 1956）、W.W. Stepanov（1889-1950）、N.G. Tschebotaröv（1894-1947）等人也经常有联系。

1928年冬天至1929年夏，Emmy应亚历山德罗夫的邀请去莫斯科大学当客座。她享受亚历山德罗夫与他的朋友们的友谊。回国后她还受到哥廷根同仁的羡慕，因为由于她的影响，I.A. Arnold（1900-1984）、L.S. Pontrjagin（1908-1988，1935当莫斯科大学教授）分别用德文发表了他们心得的文章。^[1]

Emmy向来不跟人争夺著作优先发表权。她甚至由她的构思而诱导出学生的结论成为学生独有的作品。像在1914年，Kurt Hentzelt（?-1914）在埃朗根完成论文，但是论文还没有发表，他就被调去当兵，那年十月传出他出任务失踪的消息。在1921年的DMV年会中，Emmy简述Hentzelt论文的内容，并替他登载在Mathematishe Annalen上，题名为“On the theory of polynomial ideals”（英译）。1923年冬到1924年夏，Emmy根据 Hentzelt的概念得到很好的结果，便在课堂上讲起。1924年秋天van der Waerden来哥廷根，他也从Hentzelt的论文中得到启示，导至Emmy同样的结果。后来他由Emmy的学生H. Grell口中才知道有这一回事。Emmy没跟他争优先权。van der Waerden便把结果发表在Mathematishe Annalen vol. 96（1927）上，是为“Theory of zeros of polynomial ideals”（英译）。在代数几何学上它是一篇有份量的论文。Emmy只是在给 Hasse的信中慨叹过：“我的方法像蔓藤般，到处爬行。”^[1]

7 哥廷根时期的黄昏

1929年洛克菲勒基金会捐款在哥廷根大学盖成新大楼，里面有一些小办公室是给讲师和助教的。Emmy分得了特别的一间，蛮有校方酬庸她多年来优异的教导的意思。

哥廷根大学数学系大楼。| 图片来源：Daniel Schwen

1930-32年间，哥廷根大学出版《Dedekind全集》。Dedekind留下五十来本备忘录。要整理这些着实不容易。编纂者是Robert Fricke（1861-1930）、Öystein Ore（1899-1968）与诺特。Fricke只做了少许，其他都由Ore与 Emmy所完成。^[1]由此Emmy对Dedekind的著作更加了解，对他的人品也就更加崇敬，她说：“Dedekind都没有犯过错误。”^[6]

1932年，Emmy与阿廷因他们在数学上的贡献同时被颁授Alfred-Ackermann-Teubner纪念奖。同年，哥廷根大学的代数学家们庆贺Emmy的五十大寿。这一年九月在苏黎世有国际数学家会议。它像一个大家族的会合，与会者有420人。9月7日，Emmy演讲“Hypercomplex systems in their relations to commutative algebra and number theory”（英译）。开完会后不久，哥廷根的好日子便过去了，麻烦事开始发生。

早在1929年10月29日，纽约证券市场大暴跌引发世界性大萧条。第一次世界大战后德国的繁荣仰赖美国的信用贷款与活跃的国际贸易。这两项财源涸渴后德国人民穷困不堪，对魏玛政府的温和派作风也就失去了信心。于是希特勒 （1889-1945）领导的国家社会党（简称纳粹党）及共党的势力趁机而盛。到1932年，德国境内失业人口高达六百万人以上，人民对政府的失望更甚。同年11月，纳粹党在德国国会选举中大举得胜，获可观席位。1933年1月30日，当时的魏玛政府总统兴登堡（1847-1934，第一次世界大战时德国名将）无奈，任命希特勒为总理，组成联合内阁。同年2月27日，希特勒假借国会大厦被共党纵火，搜捕共党，除去异己，攫取独裁权。4月1日，纳粹党公然采取迫害犹太人政策：抵制犹太人经营的生意；在公职人员方面，凡是犹太人及有犹太血统（追溯到祖父或祖母是犹太人）的人都在被迫退职之列。^[2]4月2日，教育局发令禁止诺特在哥廷根大学教书。理由是她是“危险人物”， 说她曾经借房间给左翼学生开会过。遭遇到同样禁令者有柯朗、玻恩（Max Born，1882-1970，1954年诺具尔物理学奖得主）与詹姆斯·弗兰克（James Franck，1882-1964，1925年诺具尔物理学奖及第一次大战铁十字架勋章得主）。Otto Neugebauer（1899-1990）、兰道与Paul Bernays（1888-1945）先被停止一切教学与行政工作。他们都是犹太人。外尔继任柯朗为数学部门主任。

8 赴布林莫尔女子学院

1933年间世界性不景气还在持续中。在欧美各国一职难求。不过外尔积极为Emmy安排在美国的出路。据亚历山德罗夫说，他当时也替Emmy奔走莫斯科大学的差使，但是进行得很缓慢，Emmy等不住，终于接受外尔给她找到的美国布林莫尔（女子）学院客座教授一年的职位。^[4]薪水由洛克菲勒基金会支付。1933年10月底Emmy整装赴美。

在美国宾州东南部的布林莫尔学院1933年秋季开学典礼时，Park校长告诉师生将有一位最出色的德国女学者埃米·诺特莅校教书。她的名字对学数学的人来说如雷贯耳，大家都很振奋。学校当局为Emmy要来教书还募款设立 “埃米·诺特奖学金”。当时的数学系系主任是Anna Pell Wheeler（1883-1966）。她在1906/07年间在哥廷根待过，1910年得芝加哥大学博士。Wheeler太太的安排是，让拿埃米·诺特奖学金的Marie Weiss（已得斯坦福博士， 1903-1949）与在布林莫尔奖学金之下攻读博士学位的Ruth Stauffer（1910-？）跟随Emmy读书。她们师生之间可能需要一段缓冲时期，等到Emmy准备妥当方始。起初学生没有碰过抽象代数。Emmy让她们从van der Waerden的《近世代数》第一册学起，还念E. Hecke的“Theory of Algebraic Numbers”。学生们对德文名称的英译感到困惑。Emmy教她们以德文专有名词来了解。这样，她们德、英文并用，结果还蛮好。Emmy上课就像开讨论会，好像她也是学生之一，大家一起讨论、解答。两位女生觉得很受用。^[2]

1934年夏天，Emmy回德国看弟弟Fritz一家人与老朋友。那里的政治气候越来越险恶，有些朋友甚至于回避Emmy。Fritz是犹太人，被迫从弗罗茨瓦夫大学退休，他倒是拿到了退休金。为了两个儿子的前途，Fritz打算移民到苏俄西伯利亚。^[1]

Emmy在美国第二年的差使还没有着落。不过朋友们应该会帮忙。看来她再回德国的机会很渺茫。她便清理自己在德国的财物，夏天过后又回美国，并参加美国数学学会。^[6]为了要获得学人的支持留住Emmy，布林莫尔的Jacob Billikopf透过数学家Arnold Dresden请Solomon Lefschetz、Norbert Wiener（1849-1964）与George D. Birkholf （1884-1944）表示对Emmy的意见。他们都齐口称赞Emmy是至今最优秀的女数学家，理当给她留任的机会。不过他们也有共识，Emmy不适合教大学部课程。

至于经费方面，有Emmy的朋友典当物品获得1700美元，他愿意捐出这笔钱来。普林斯顿高等研究院愿意负担1500美元做为Emmy每星期去普林斯顿授课的报酬，而布林莫尔学院付给Emmy的年薪是3000美元，因此在洛克菲勒基金会答应补助2800美元的情况下，Emmy在布林莫尔学院从1935年至1937年的薪水便有眉目了。^[6]

在布林莫尔的第二年，Emmy多出两名学生。一名是Grace Shover（1906-1998），Grace跟Mac Duffee学过抽象代数学，这回她拿到1934/35年埃米·诺特奖学金来做博士后研究。另一名是Olga Taussky（1906-1995）。Olga是Emmy在哥廷根的旧识，维也纳大学博士。她本来早一年就有布林莫尔外国人奖学金，但布林莫尔学院因财务困难，延后一年。刚好Emmy又在布林莫尔，Olga便拖延一年，她稍后才获得的剑桥大学格顿学院的三年奖学金，先来布林莫尔。^[6]

Olga早年是奥匈帝国子民。第一次大战后她的国家独立，她便成为捷克人了。^[7]她在1930年的DMV与Emmy相识。那时候她已是渐露头角的数学家了，专长是类域论（Class field theory）。刚好哥廷根大学打算在1932年出版希尔伯特的数论第一册来庆贺他的七十大寿，急需类域论方面的年轻专家来整理希尔伯特的资料。柯朗便在1931年至1932年6月间请Olga来当编纂者之一。在这期间，Emmy与Olga常有接触的机会。那时候Emmy老嫌Olga的德语带奥地利腔。不过这回她们在异乡相逢，Olga的德语Emmy听来都觉得亲切了。^[6]

Olga Taussky因她在代数数论、积分矩阵等领域的研究以及整理希尔伯特著作的工作而著名。

Emmy与她的四名研究生一起讨论功课，一起玩，仿佛她又组成了一个诺特家庭。有时候她们会边谈边穿过田野，越过铁轨。Emmy体态臃肿，行动可还蛮灵活哩。最后她们会聚集在某个人的住处或是Wheeler太太的客厅。Wheeler太太跟她们也都很合得来。^[2]

1934年2月起，Emmy每星期二一早便搭火车去普林斯顿教书。Olga来后间或陪Emmy一起去。有时候四个女生搭Wheeler太太的便车去听讲。据Olga说，Emmy星期一给她们上什么课，星期二就去普林斯顿讲这些，等于她都预演过了。普林斯顿的听众差不多是研究员以上，他们习惯于实际演算，Emmy的抽象讨论法对他们还是新颖的。教完课后Emmy经常和外尔（1933年来普林斯顿）与R. Brauer（1934年来普林斯顿）相聚。^[6]

Emmy对Olga是满任性的，她会对Olga使性子，还会批评Olga这个那个，再责备Olga在乎她那些话。Olga这个人也比较敏感，她总觉得Emmy在美国这一阵与在哥廷根时不一样，好像有什么心事积压在她心里。

原来Emmy身体有毛病，她想拖到夏天回德国去治疗。她跟布林莫尔的医生商量的结果是，医生劝她趁早开刀治疗才好。^[6]47年后，Grace Shover回忆起1935年3月31日至4月14日的事：那时候，学校正放春假，宿舍关闭，大家各自散了。Grace住靠近学校的朋友家。3月31日，Emmy找Grace陪她去太平洋城看在那里的Olga，三个人谈得很开心。过后Grace有德国来的朋友，Grace在4月7日（礼拜天）傍晚便带她去见Emmy。朋友与Emmy用德语谈故国事。但是在4月8日，Wheeler太太告诉女学生们，Emmy当天进布林莫尔的医院要开刀切除子宫瘤。^[2]Emmy离家赴医院前被要求写出一份名单，捐赠她的所有物以备万一。Olga与Grace也都在名单之内。^[6]4月9日，四名女生们去医院看Emmy，并送她“Town and Country”的复印本。10日Emmy开刀，听说过程很顺利，Emmy还高兴只取出病灶（一个大卵巢瘤）， 不必割除其他部位。13日女生们想去探病房，但是还谢绝访客。14日是星期天，大家都在宿舍里，想着Emmy的病大概快好了。突然间有Ruth的电话：Wheeler太太来电话告诉Ruth，Emmy的病况发生变化，她因栓塞（embolism）刚刚断气。这真是晴天霹雳，女孩子们听后当夜无法合眼。^[2]

4月7日，Emmy还发信给Hasse，长篇讨论Ruth的论文。但是Hasse又收到Fritz Noether 4月15日由柏林寄的信，告诉他姐姐埃米·诺特在4月14日过世了。^[1]

1930年代的诺特。| 图片来源：Konrad Jacobs, Erlangen

9 终 局

1935年4月15日的纽约时报简略报导Emmy去世的消息。当天的New York Herold Tribune（《纽约先驱论坛报》）刊载得多一些。^[1]

4月18日，埃米·诺特的遗体在火化前，布林莫尔学院Park校长的客厅里举行了一场贵格会的告别仪式。在柔和哀伤的音乐中，Emmy的德国和美国的少数知己，如外尔、Brauer、Wheeler太太和Olga等以各自的语言向她告别。骨灰埋在M. Carey Thomas图书馆的回廊砖道底下，与首任校长M. Carey Thomas的骨灰为邻。^[6]

4月19日，S. Lefschetz告诉在哥伦比亚大学开会的美国数学学会会员埃米·诺特去世的消息，大家起立默祷一分钟。4月26日，埃米·诺特逝世纪念礼拜在布林莫尔的Goodhert礼堂举行。许多人来参加，由外尔用英语很感性地说及埃米·诺特的生平与著述。^[6]他说Emmy是很有创意且影响众人的代数学家。她并不是上苍的巧手用粘土塑造成的人，而是一个石块由他吹进创造的生命力而成的人。她心地善良，不知恶为何物。^[5]他的演讲词附上 Emmy的照片在第二次大战后分赠给联系到的Emmy的亲友们。 ^[1]

爱因斯坦（1879-1955）在5月1日投稿给《纽约时报》编辑，题名为《故埃米·诺特》，内容是：“人类生而为食卖力，有一些人得天独厚，可免去这一份劳力，他们便去追逐人世间的享受。在他们的下意识里认为这便是人生中最值得追求的目标。幸而有少数人从他们生命的早期就认定人类最完美的经验不是来自外界，而是由个人内心的感觉、思想与行为启发出来。这些人便是真正的艺术家、做研究的人与思想家等。这些人的一生不管是否多不起眼，他们所得到的成果是这一代传给下一代最珍贵的贡献。

几天前埃米·诺特教授去世了，享年53岁。她是代数界的奇葩，女性受高等教育以来最杰出的学者。她在代数领域中发现的概念式方法证实可使现代代数学发展起来。她在哥廷根大学教学多年，虽经希尔伯特等人的极力争取，于公无法取得她该有的名位。但是她还是无怨无悔地教导，影响周遭的学生与学者。可是，她无私的奉献所换得的报酬却是因犹太人而被停止教学，让她失去维持简单的生活与做研究的机会。幸好经有识人士的安排，她得以在美国布林莫尔学院与普林斯顿执教。由于同事们的友爱及学生们的爱戴，使她的晚年过得快乐、充实。”^[8]

Mathematische Annalen杂志社在6月21日收到van der Waerden的《埃米·诺特事略》，便登载在该杂志111卷（1935）pp. 469-476上。van der Waerden在文章中给Emmy在学术上的成就定位。^[3]1935年9月5日，莫斯科数学学会在莫斯科开“埃米·诺特追悼会”。在Tomsk大学的Fritz Noether也参加。与会者还有来莫斯科参加第一届国际拓扑学会的学者们。主席亚历山德罗夫告诉大家埃米·诺特在4月14日去世。众人起立默祷后，亚历山德罗夫生动地描述他所认识的Emmy。^[4]

9月25日，DMV的年会中秘书告诉大家埃米·诺特是近年内去世的第十四位数学家。会员们全部起立悼念。从此埃米·诺特便从DMV除名了。

Emmy所指导论文的最后一名学生Ruth Stauffer后来转由Brauer指导，在 1936年拿到博士学位。她离开数学界，在宾州州政府做研究员，但还是称赞Emmy的教学法对她处理数据有帮助。^[2]

Emmy在布林莫尔的其他学生如Marie Weiss在杜兰大学Newcomb学院教书，她写了广被使用的“Higher Algebra for the Undergraduate”（1949）。在序文中她强调van der Werden等人给她的影响。第二版还没问世她就去世了。^[6]

Grace Shover在美国大学（American Uiniversity）教书。1936年她去奥斯陆参加国际数学家会议时柯朗特地给她介绍信，她便取道哥廷根会见希尔伯特夫妇与Hasse。为的是这些Emmy的故旧很想知道Emmy在美国最后一年来的情况。在大会中Grace也会见了Fritz Noether。^[2] Olga Taussky在1938年9月与John Todd在英国结婚。夫妇从1957年开始在美国加州理工学院执教一直到退休。^[8] Olga于1995年去世。她生前在代数学上的表现很出色。

1945年第二次世界大战结束。一切逐渐回复正常，学术交流更是没有国界。抽象代数学以哥廷根精神（其中包括阿廷与诺特等）继续发展开来。德国学术界开始为当年被放逐的学人（其中数学家最多）做一些补偿工作。为诺特做的有：1957年埃朗根大学庆祝埃米·诺特得博士学位五十周年纪念。1960年埃朗根市更以一条新住宅区的街名命名为Noether Strasse，来纪念诺特父女。1982年是诺特诞生一百周年。2月27日，埃朗根数学研究所举行诺特纪念碑揭幕典礼。埃朗根市还建立一所男女合校，强调数学、科学、现代语言学的“埃米·诺特高中（Gymnasium）”。

在美国，1982年3月17日至 19日，布林莫尔学院在女数学家学会赞助之下举办了“埃米·诺特百年诞辰纪念会”。有九场演讲，还有Emmy当年在布林莫尔的学生与Gottgried Noether讲述他们所认识的埃米·诺特。这些都付印成册为“Emmy Noether in Bryn Mawr”,Springer Verlag, New York, 1983。会后Grace Shover Quinn把她挂看的首饰，Emmy的遗物，取下转送给Gottfried的独生女Monica，作为姑婆Emmy的纪念品。^[2]这些，如果Emmy地下有知，一定觉得很窝心的吧。

据van der Waerden在1924年后的了解，Emmy看一个定理或课题须得把它抽象化，在她的心目中变成透明的架构她才能够把握它。她只能以概念而非公式来思考，所以也想出概念化的形式来，它可适用于一般化的数学理论。而她所采用的工具便是代数与算学。^[1]

埃米·诺特早年（1907-1919）的作品第一篇是在哥尔丹完全以运算方式的指导之下完成的博士论文。不久她受Fischer的影响，被希尔伯特的思考方式所吸引，完成一些研究。如有关微分不变量的论文。它在一般相对论上是很好用的文献。在这期间她最重要的工作是：“给定一伽罗瓦群，求出方程式”。

1919年第一次世界大战后，Emmy开始自己摸索研究的方向。在1920年，她与 W. Schmeider完成论文“Modulu in nichtkommutativen Bereichen, ins besondere aus Differential-und Differenizenausdrücken” Math Zs 8 (1920) pp.1-3。这是她往后一连串一般理想理论（ideal theory）的先声。

1927年后，Emmy研究的方向转向不可交换系统的理论上。她在还有充沛创意中去世，发表的论文共有44篇。^[6]

参考文献

1. A. Auguste Dick, Emmy Noether, Birk-haüser,Boston,1981.

2. B. Emmy Noether in Bryn Mawr, Springer Verlag, New York, 1983.

3. C. B. L.vander Waerden, Obituaries of Emmy Noether, Mathermatische Annalen 111,1935,469-476.

4. D. P.S. Alexandrov, In memory of Emmy Noether, Memorial adress delivered before the Mathematical Society of Moscow, Moscow, Sptember 5,1935.

5. E. Hermann Weyl, Emmy Noether, Scripta Mat hematica III, 3, 1935, 201- 220.

6. F. Emmy Noether, A Tribute to Her Life and Work, edited by J.W.Brewerand

7. M.K.Smith,Marcel Dckkerlnc.1981,NewYorkandBasel.

8. G. Albers Alexanderson, Mathematical People (Profiles and Interviews), Birkhaüser, Boston1985.

9. H. Albert Einstein, The Late Emmy Noether, The New York Times. May4,1935,12.

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