牛顿是因为苹果发现的万有引力吗（看到苹果落到地上）

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导读

展示物理学分析问题的方法，从苹果到牛顿、开普勒、卡文迪许和爱因斯坦......物理学整个学科的创立从牛顿1687年的名著《自然哲学的数学原理》开始。哲学中自由的思辨在科学里成为大胆的假设，运用数学和逻辑进行严格的推理。更重要的是必须用实验和观测结果做最终检验真理的标准。物理学就是哲学、数学与实验相结合后产生的科学。

1687年，如日中天的康熙皇帝，独自在后宫跟传教士学几何，玩自鸣钟。但遥远的西方产生了面向大众的科学，一个多世纪后就改变中国的国运。

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和正在学物理的朋友谈物理方法

即便你不是物理专业的，你应该也听说过这个故事：牛顿在苹果园中看见苹果掉在地上（也有说被苹果砸中头的），悟出了万有引力定律。这个故事是否可信？从科学的角度我们可以问，一位训练有素的物理学家，能否在当时的条件下，从苹果的落地推导出万有引力定律？答案是肯定的。

要想再现牛顿在苹果园中的思考，我们首先要清楚在那个著名的苹果落地之前，牛顿已经知道什么。牛顿当时掌握的知识，大部分都已经被今天的高中生学到了。

这样一来，之前的问题有答案了：如果两个物体之间的吸引力正比于二者质量的乘积，那么地球对苹果的引力正比于地球质量乘以苹果质量，两个苹果之间的吸引力正比于两个苹果质量的乘积。前者是苹果的重量，后者一定比苹果的重量小很多很多。所以，很可能两个苹果之间是有吸引力的，只不过它太小，我们观察不到。

如果地球因为有巨大的质量产生引力，那么地球和太阳，和其他行星之间是否也会有引力？

地球在绕太阳旋转，但还没有人想过为什么，天上的事情自然是上帝安排的。很可能，牛顿在苹果园里，从地面想到了天上。地球绕太阳公转的轨道是一个近似的圆形，地球在环绕太阳做匀速圆周运动。

做匀速圆周运动的物体，是有一个加速度的。虽然速度的大小不变，但方向不断改变，随时都在拐弯。这个加速度的方向指向圆心，大小由下面这个公式给出。

转动加速度公式

这个结果，用牛顿的微分很容易证明。今天高中的物理老师也会把这个结果教给学生。

如果我们可以把牛顿第二定律用到整个地球上，那么地球一定是受到了一个指向轨道圆心的力，那正是太阳的方向！地球绕太阳的公转，完全可以用太阳的吸引力解释。因为地球有速度，才不会像苹果那样掉下去。看来，很可能天上的、地上的物体，都满足同样的力学定律，都有同样的引力规律！

但为什么是地球绕着太阳转而不是太阳绕地球？为什么所有的行星都绕太阳转？这一定和地球上的所有苹果都落到地面的原因一样：太阳的质量一定比所有的行星都大很多，因此太阳对每一颗行星的引力，比它们之间的引力大很多。

两个物体之间的引力大小，应该和距离有关，距离越远引力越小，这才合理。否则，太阳比地球的质量大很多，我们和苹果都会被吸到太阳上面去。但引力和距离是什么样的关系呢？

自然界最基本的规律，往往都是简单的。比如牛顿第二定律，再简单不过了。我们不妨猜猜，是跟距离成反比？还是跟距离的平方成反比？

等等，苹果和地球之间距离怎么算？实际上，万有引力定律，和牛顿三定律一样，都是针对质点的。质点是抽象出来的简单物体，有质量，没有尺寸和形状结构。地球和苹果之间的引力，需要把地球分割成无数的质点，分别计算苹果和这些质点之间的引力，再求和。这个计算，需要用到牛顿发明的积分。

地球对苹果的引力

如果引力和距离的平方成反比，积分的结果特别简单：地球对苹果的引力，相当于把地球的质量都集中到地心那个点上。在引力的公式中，用苹果到地心的距离（就是地球半径）代入就可以了。如果引力不是和距离平方成反比，就没有这么简单漂亮的结果。苹果树下的牛顿也许还不知道这些，但他回到书房后，一定可以推导出这个结果，今天数学基础好的大学生，都可以独立地完成这个证明。

如果地面的事情太复杂一时算不清楚，不妨去想想天上的东西。在太阳系内，星体的半径比它们之间的距离小很多，诺大的地球和太阳，反而可以被近似地当作质点。各大行星绕着太阳转动，半径有大有小，它们会给出引力与距离关系的信息。

早在半个多世纪前，德国天文学家开普勒，就对各大行星的轨道进行了精密的观测和计算，总结出了三个定律。其中第三定律特别简单：行星的轨道半径越大，公转周期就越长，半径的立方和周期的平方成正比。如果引力的距离平方成反比，就可以解释开普勒第三定律。这个推导非常简单，今天一个物理和数学基础好学生，也可以闭着眼睛在苹果树下完成这个证明。需要用到上面那个转动加速度公式。

开普勒第三定律的推导

最后一行的公式右侧，是一个只和太阳质量有关，对地球和所有行星都一样的常数，这就证明了开普勒第三定律。至此，从当时已知的科学知识出发，我们通过天马行空的思考，和严谨踏实的推理，发现了万有引力定律。整个推导过程并没有用到复杂的数学，牛顿完全可能在苹果园里完成它。

牛顿的万有引力定律

回到书房，牛顿还做了更多的工作。开普勒还有另外两条定律：第一定律：地球和行星的轨道是椭圆形的（很接近正圆的椭圆形），太阳位于椭圆的一个焦点上。第二定律：行星和太阳的连线，单位时间内扫过的面积是一样的（也就是说，行星离太阳近的时候，速度会快些）。

牛顿用他的力学第二定律，万有引力定律，以及微积分数学工具，证明了这两条定律。这下实锤了，我们不仅定性地，而且定量地证明了宇宙中的天体，是按照和地面物体一样的牛顿力学定律和万有引力定律运行的。

这还不算完，万有引力定律预言了一个新的物理现象，就是两个苹果之间，任何两个物体之间，也有一个很小的吸引力。这个现象必须得到实验证实，这条定律才会被彻底接受。但这个力太小了，测量它是需要很高的技术。在牛顿发表万有引力定律的111年后，终于由卡文迪许完成了这个实验，他用了两个大铅球，测量了它们之间的引力符合万有引力定律，同时第一次测到了万有引力常数。

万有引力常数

由于地面物体的引力是非常微弱的效应，关于引力的实验总是很困难。后来，爱因斯坦于1916年发表了更高级的引力理论--广义相对论；100年后的2016年，他预言的引力波才首次被探测到。

牛顿把万有引力定律，发表在他1687年的名著《自然哲学的数学原理》中。怎么是哲学而不是物理学？那个时候，物理学和整个科学都还没有完全从哲学中分离出来。是牛顿创立了科学方法，成为了现代科学的奠基人。在哲学里，你可以自由地去思辨。在科学里，你也可以大胆假设，但你必须使用数学和逻辑进行严格的推理；更重要的，你必须用实验和观测结果做最终的检验真理的标准。物理学，就是哲学、数学与实验相结合后产生的科学。

我们写这篇事后诸葛亮的文章，正是为了展示物理学分析问题的方法。

1687年，康熙王朝正如日中天。但遥远的西方产生了科学，一个多世纪后就改变中国的国运。

在西方，万有引力定律也是重大的思想突破。之前人们总认为天上的事情归上帝管，现在发现它们遵守和地面物体同样的物理规律。虔诚的教徒牛顿激动地说：我现在只需要上帝给我第一推动力，然后宇宙万物就都属于我的定律了！

感谢那个苹果，让人类的认识向前迈出一大步！

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背景简介：本文作者为物理学博士戴岚山，微博@物理博士看天下。作者授权风云之声发布。

责任编辑：孙远

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