李永乐讲自然对数（自然对数的意义）

高中刚接触自然对数的底数 e 时就觉得这货很奇怪。e≈2.71828…，是一个无理数，很多人都不禁要问它为什么约等于 2.71828…，这其中有什么深层的原理吗，e 的神奇之处，现在我们就来简单聊聊……

e的神奇可以从复利说起。复利是一种利息的计算方法，在存钱时把上期末的本利和作为下一期的本金，又计入下一期计算利息。比如一个银行的年利率是 50%（目前还没这种银行），存100元钱，一年后的本利和是 150 元；存两年按复利计算的本利和是 元。现在假设有一个银行，它的年利率是 100%（这种银行更不存在），我们存入 1 元钱，一年后的本利和是2元。我们知道存一年本利和是本金的（1 1）=2倍，则存半年效果是本利和变成本金的倍，所以若银行每半年付利息，我们可以把利息马上存入，1年末的本利和是元，存4个月效果是本利和变成本金的倍，所以若银行每4个月就付利息，利息生利息，年底的本利和是元。

一年365 天，若银行愿意天天付利息，这样利滚利的余额2.71456748202元，假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000 秒，利滚利的余额2.7182817813元。所以能够发现，1元钱存1年，在年利率 100% 情况下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e≈2.71828…。用极限语言描述就是：

所以，这样存钱即使累死也没多挣几个钱。

我们把自然增长率的极限称为e,即在年利率 100% 情况下，存钱的最高本利和就是本金的e（约为2.71828…）倍。

那自然对数又是怎么回事呢？

我们先从一个虚构的故事说起：有一土豪要去银行存款，比如存10万元。银行经理推荐他投资理财产品，说有很高的年利率，然后说按照指数运算方法……，银行经理巴拉巴拉讲了一通。但土豪的数学只有小学水平，听不懂有点烦，就问投资多长时间能有一成收益，两成收益，翻倍的收益？经理有点懵，这土豪不按常理出牌！一般人都是根据存款时间问收益，例如收益第 1 年多少、第 2 年多少、第 3 年多少..... 土豪居然逆向思维，根据收益问时间，多少年一成，多少年2成，多少年翻倍！不愧是老板，不问过程，只问结果！于是经理就从第 1 年开始算，把 10 年内每年的收益都算出来，列成一个收益列表然后再找出收益最接近一成，两成，及翻倍的年份指给土豪，土豪一看第 4 年、第 7 年、第 10 年就大概超过预期收益，非常高兴！经理用这张表查找收益，再找到最接近收益的大体年份的过程，其实就是指数运算的逆运算，是最简单的对数运算，这个表就是对数表的简洁形式。

为了认识对数概念，我们再来看看《人教版新课标高中数学A版必修1》第二章 2.2 对数函数小节课后阅读材料《对数的发明》：

这应该是高中数学书上最难懂的一个课后阅读材料，没有数学分析基础的高一学生很难明白其中的道理。这还要从纳皮尔的经历说起。纳皮尔是天文学家、数学家，在计算行星轨道数据时，他被浩瀚的计算量所折磨。纳皮尔提出对数就是为了计算的简便。为理解对数计算的优势，我们通过案例来了解，下面的表格里有两个数列：

第 1 行是自然数，他们是等差的；第 2 行是 2 的倍数，他们是等比的；要计算第 2 行的等比数列中任意两个数的乘积，例如 16×64；先到第 1 行的等差数列中寻找对应的数，16 对应 4，64 对应 6；然后做加法，4 6=10，再查找10所对应的等比数列的数1024；这样得到计算结果就是16×64=1024。

纳皮尔不是一般人，他用了 20 年的时间，进行了数百万次的计算，编写了用于对数运算的对数表，堪称耐心坚持的战斗机！这也是典型的牺牲了自己的头发成就别人的头发（不知他当年埋头思考是否掉了许多头发）。有趣的是，历史不走寻常路，对数的发现居然早于指数！

1614年，纳皮尔发明了对数和对数表。

1637年，法国数学家笛卡儿发明了指数，比对数晚了20多年。

1770年，欧拉才第一个指出对数源于指数，这时对数和指数已经发现一百多年了。法国数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）说：一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算，而是拿他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪数学的三个“最重要的数学方法”。

在没有计算器的年代纳皮尔的运算到底有多繁琐呢，为理解纳皮尔的艰辛，我可以举一个例子，精确到十万分位，手算lg2的近似值：

lg2 =0.1×lg（2^10) =0.1×lg1024 =0.1×(3 lg1.024) =0.3 0.1×lg1.024 =0.3 0.01×lg(1.024^10) =0.3 0.01×lg1.2676506 =0.3 0.001×lg(1.2676506^10) =0.3 0.001×lg10.71508607 =0.3 0.001×(1 lg1.071508607) =0.3 0.001 0.001×lg1.071508607 =0.3 0.001 0.0001×lg(1.071508607^10) =0.3 0.001 0.0001×lg1.995063117 =0.3 0.001 0.00001×lg(1.995063117^10) =0.3 0.001 0.00001×lg999.002093 =0.3010 0.00001×lg999.002093 ≈0.3010 0.00001×3=0.30103

这只是一个对数值的计算，所以要制作一套对数表，经历的运算可想而知，敬佩纳皮尔的恒心和毅力！

我们再来看看前面纳皮尔用运动观点描述的对数定义（实际上是为底的对数，为方便理解这里修改为以e为底的对数定义）：

如图：若P、Q两点分别以相同的初速度（初速度为1，每个单位时间内运动单位长度），在两具有相同单位长度的数轴上运动.点Q沿数轴CD（C为原点）作匀速运动，CQ=x；点P沿数轴OB（O为原点）从A点开始运动，它在任何一点的速度值等于它离O点的距离（OP=y）。令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的对数。这里x其实是y的自然对数（即底数为e）,当CQ长为1时，OP长度为e。P点的运动特点是在每一点处以自己的运动路程为速度，即在P点的路程-时间（s-t）函数中，每一点的函数值为该点的变化率（速度就是路程对时间的变化率）。

函数图象上每一点的变化率（即导数值）为该点处的函数值，而且这货任意求导后还是它自己，永远以自身为变化率。

现在我们知道指数和对数互为逆运算，用e做底数的对数式记作lnx，称为自然对数。其实e和π一样都是数学的内在规律，它反映了指数增长的自然属性。在数学发展史上，对数运算基于对大数运算的简化而提出，幂的乘除与指数的加减对应，幂的乘方、开方与指数的乘、除对应。感叹纳皮尔等数学前辈对后世数学的贡献，虽然对数表、对数尺现在已不再使用，但对数的思想仍具有强大的生命力！