9个著名的数字悖论（兔子和向日葵能帮助我们找到质数吗）

本文节选自《神奇的数学》

数数向日葵上面的花瓣，通常有89颗，这是一个质数。一对兔子经过11代繁殖后的种群数量也是89。难道兔子和向日葵花都已发现寻找质数的秘诀了吗？事实并非如此，它们之所以喜欢89这个数字，并非因为它是质数，而是因为它正是自然中意的数字之一：它属于斐波纳契数列。这是意大利比萨的数学家斐波纳契在1202年研究兔子的繁殖方式（更多是在生物学意义上而非数学意义上）时所发现的重要的数字序列。

一开始，斐波纳契设想有一对幼兔，雌雄各一只。并将这一起始点称为月份1。到了月份2，幼兔进入成年，开始生育，并在月份3诞下一对新的幼兔。（为方便这一思想实验的进行，每一窝幼兔均包含一雌一雄。）在月份4，第一对成年兔又产下一对幼兔。而它们产下的第一对幼兔也进入了成年期，于是，现在便有两对成年兔子和一对幼兔。在月份5，两对成年兔子各产下一对幼兔。而月份4出生的那对幼兔也进入了成年期。于是，到月份5的时候，一共有三对成年兔子和两对幼兔，即总共有5对兔子。因此按月计算，兔子的对数依次为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…

图 1-22　斐波纳契数列是计算兔子种群增长的关键

记录这些不停繁殖的兔子是一件令人头疼的事情，斐波纳契后来找出了一个延续该序列的简单方法：只要将前面两个数字相加即可得出序列中后一个的数字。两个数字中相对大的数字代表当时兔子的对数，它们都会在下个月继续存活下去；而两个数字中较小的那一个则代表种群中成年兔子的对数，这些成年兔对将会在下个月各产下一对新的幼兔。因此，下个月的兔子对数便为这两个数字的和。

有些读者可能在阅读丹·布朗的《达芬奇密码》时读到了关于斐波纳契数列的内容。实际上，该序列就是主人公在通往圣杯的道路上第一个需要破解的密码。

喜欢这些数字的也并非只有兔子和丹·布朗。植物花瓣的数量通常也都是斐波纳契数列中的数字。延龄草有3瓣花瓣，紫罗兰有5瓣，飞燕草有8瓣，万寿菊有13瓣，菊苣有21瓣，除虫菊有34瓣，向日葵则通常有55甚至89瓣。也有一些植物的花瓣的数量是斐波纳契数列中的数字的二倍，比如某些品种的百合，其花朵由两朵花组合而成。如果你家里的花的花瓣数量不符合斐波纳契数列中的数字，那么一定是有花瓣掉落下来了吧……数学家就是这么给圆回来的。（我不想被那些愤怒的园丁寄来的信所淹没，先承认的确存在一些除枯萎花瓣以外的例外情况。比如，星状花通常的花瓣数量就是7。毕竟，生物学不像数学那么严谨。）

除花朵以外，在松果和菠萝上也可以发现斐波纳契数列中的数字。切开一只香蕉，你就会发现它是由三个部分组合而成的。而从一个苹果的茎部一刀切至底部，你就能看到一个五角星的形状。如果切开一个莎隆果，你就能看到一个八角星的形状。不管斐波纳契数列是否与兔子种群的数量、向日葵或水果的生长结构有关，这些数字总会在涉及生长的时候出现在我们的视野之中。

贝壳演变的方式同样也与这些数字存在着紧密关联。蜗牛幼虫的外壳起初很小，随着蜗牛的成长，它就会一圈接着一圈地建造房子。但是，由于施展空间有限，它只能简单地在原有房屋的基础上增加一个面积等于之前两个房间之和的新房间，这一点正和斐波纳契数列一样——后面的一个数字是此前两个数字的和。这一生长过程虽十分简单，却制造出了一个十分美妙的漩涡式形状。

图 1-23　如何使用斐波纳契数列来建造一个贝壳

事实上，此类数字完全不应该以斐波纳契的名字来命名，因为他不是首个偶然发现此类数字的人。这些数字甚至不是由数学家发现的，而是由中世纪印度的诗人和音乐家发现的。印度诗人和音乐家热衷于探索长短音节组合所能构成的所有可能的节奏和结构。如果一个长音是一个短音长度的两倍，那么在一定数量的节拍中，到底会有多少种不同的组合模式呢？比如，在8个节拍中，你可以放入4个长音或8个短音。但是，在这两种极端的可能性之间还有许多不同的组合方式。

公元8世纪，印度作家维拉汉卡决定接受挑战，探索一下到底有多少种不同的节奏存在。他发现随着节拍数量的增加，可能的节奏模式的数量会按照以下序列依次增加：1，2，3，5，8，13，21，…和斐波纳契一样，他也意识到，要得到数列中的后一个数字，只需将前面的两个数字相加即可。于是，当我们想知道8个节拍中有多少种节奏的可能性时，只需查看序列中的第8个数字即可，即由13和21相加所得来的34，因此，8个节拍中共有34种不同的节奏组合。

或许相比斐波纳契兔子种群数量增长来说，对这些隐藏在节奏背后的数学的理解要更容易一些。比如，要了解8个节拍中的节奏数量，你只需要在所有6节拍的节奏中加入一个长音，或在所有7节拍的节奏中加入一个短音即可。

话说回来，斐波纳契数列和本章的主角质数之间存在着一种有趣的关联。以下是斐波纳契数列中靠前的几个数字：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

其中，每当 p 为质数时，第 p 个斐波纳契数也为质数。例如，11为质数，而第11个斐波纳契数字89，亦是质数。如果这一点成立的话，那么，人们便找到了一种寻觅更大质数的好方法。只可惜，它并非总是站得住脚的。例如，虽然19是质数，但第19个斐波纳契数4181并不是质数，因为4181=37×113。到目前为止，尚未有科学家论证出，是否斐波纳契数列中有无限的数字都是质数。这一点则又是众多有关质数的未解之谜中的一个。

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