狭义相对论讲义（狭义相对论诞生之路）

在上一篇文章中，我给大家介绍了以太观的历史演变，从古希腊形而上的哲学以太，到笛卡尔相互作用力传播媒介的以太，再到代表绝对静止参考系的以太，以及建立在波动说基础上的光以太，最后到作为电磁波荷载物的电磁以太。“以太”的物理内涵伴随着人们对客观世界认识的深入而不断演变。除此之外，我还着重介绍了菲涅尔部分曳引说，以及光行差现象、斐索水流实验等光学实验，这些光学实验在一阶近似的条件下“证明”了地球与以太之间的相对运动。当然，人们对以太的认识并没有止步于电磁以太的内涵，而是随着新实验的出现而继续赋予以太新的内涵。我会在后面的文章中继续讲述以太内涵的进一步演变历程，但是在此之前，我们先来了解一个与以太关系密切，而且是爱因斯坦创立狭义相对论的重要思想源泉之一：相对性原理。

【1 朴素宇宙观】

在上古时代，人们普遍认为天是圆的、地是方的，天在上，地在下，地的周围是与天相接的海洋，而且“上”和“下”两个方向是绝对的，在任何时候都不能颠倒。后来，古希腊哲学家亚里士多德（没错，又是那个哲学家）提出统治了人们世界观近两千年的一套观点体系，他认为大地是球形的，位于整个宇宙的中心，整个宇宙由环绕地球的七个同心球壳组成，月亮、太阳、行星和恒星分别处在不同的球壳上。亚里士多德这套观点体系使人们的宇宙观从平坦的大地过渡到球形的大地，这样一来，地球上某一端的“上”，在另一端看来将是“下”，“上”和“下”两个方向是相对的。

树立这样的观念是要克服很深的成见的，因为在当时的观念看来，如果大地是球形的，那为什么那些居住在我们对跖点（地球表面上关于地心对称的，位于地球直径两端的点）上的人不会“掉”下去呢? 对于这个问题，亚里士多德认为，地球上的重物有一种向宇宙中心（地球）运动的天然趋势，所以在对跖点上的人天然会落向宇宙中心，而不会远离宇宙中心“掉”下去。

尽管这些观念现在看来非常“幼稚”，但是在那时候，这已经是很大的进步了。

虽然亚里士多德把“上”和“下”两个概念相对化了，但他仍然保留了空间中一个绝对位置，即宇宙的中心——地球。后来托勒密在亚里士多德的观点体系的基础上，进一步发展出了“地心说”。

直到中世纪的欧洲，人类的宇宙观发生了一次重大的飞跃：从“地心说”过渡到哥白尼的“日心说”，从“地静说”过渡到“地动说”。这在一定程度上打破了空间绝对位置的概念，也打破了“静”与“动”的绝对界限，使它们都相对化了。但是，当时的“日心说”也面临一个非常棘手的问题：“如果地球在作高速运动，为什么在地面上的人一点也感觉不出来呢?”

解决这个问题的是一位伟大科学革命先驱——伽利略·伽利雷。

【2 相对性原理】

学过中学物理课的同学应该都知道，伽利略在力学和物体运动规律方面的贡献是无与伦比的，他开创了以物理实验和数学归纳相结合的科学研究新方法，彻底推翻了纯属思辨和臆断的神学世界观，开启了真正意义上的科学革命，为牛顿经典力学打下了基桩，而牛顿在这片基桩之上盖起了足以让后人仰视的经典力学大厦。

伽利略·伽利雷

伽利略最重要的成就之一是提出了自由落体定律，这个定律说的是如果不考虑空气阻力的话，那么任何物体的下落速度都是一样的，而且都是呈一个固定的加速度（这个加速度就是g=9.8米╱秒2)。

另外，他还发现了一个著名的“惯性定律”，其实就是牛顿的第一定律（当然，伽利略没有像牛顿那样精确地表述出来，所以惯性定律的发现权仍然归属牛顿）。这两个定律是伽利略最广为人知的成就，也是中学物理课上的主要内容之一。

伽利略的成就当然不止于此。1632年，伽利略在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》的著作中，用非常通俗易懂的语言提出了一条非常重要的原理——相对性原理，这个原理把“日心说”从“地动而不可觉察”的困境中解放出来，为后来“日心说”的成功扫清了障碍。

伽利略对一个封闭船舱内发生的现象作了如下生动的描绘：假如把你和一些朋友关在一条大船甲板下的密闭船舱里，你周围只有一些苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫。还有一个倒挂的水瓶，水滴一滴一滴的滴到下面的一个罐子中。当大船停止不动时，你留神观察，小虫都以等速向船舱内各方向飞行，水滴精准地滴进下面的罐子里。你把任何东西扔给你的朋友时只要距离相等，向着一个方向不比另一方向用更多的力。你双脚起跳，向哪个方向，跳过的距离都相等。

现在如果让船以匀速状态直线行驶（速度保持不变且不会忽左忽右的摆动）。你将会发现，上述的现象丝毫没有变化，你也无法从其中任何一个现象来判断船是匀速直线运动的还是静止的。即使船运动得相当快，在跳跃时，你将和以前一样，在船底甲板跳过相同的距离，你跳向船尾也不会比跳向船头来的远，虽然你跳到空中时，脚下的船底板向你跳的相反方向移动。你把什么东西扔向你的同伴时，不论他是在船头还是船尾，只要你自己站在对面，你也并不需要用更多的力。水滴将像先前一样，滴入下面的罐子里，一滴也不会滴向船尾，虽然水滴在空中时，船已经行驶出了很远的距离。如果点香冒烟，则将看到烟像一朵云一样向上升起，不会向任何一边移动。

伽利略通过上面这一段非常符合生活经验的例子提炼总结出了相对性原理：通过这些一致的现象，我们根本无法区分这艘船是静止的还是匀速直线运动的，这就是伽利略的相对性原理，也就是力学相对性原理（所谓“原理”，就是在大量的实验观察和实践的基础上，经过归纳、概括而得出的，带有普遍性的、最基本的、可以作为其他定律的基础的定律。）

可能你会觉得这个原理简单地就跟废话一样，因为它完全符合我们的生活经验和直观感受，并没有什么特别之处。伽利略描述的那些现象，我相信你也能举出很多。比如，在匀速直线行驶的火车上，如果看不到窗外的景象，那么我根本无法区分火车是静止的还是匀速直线运动的，因为我在车厢内读书写字、吃吃喝喝等常规操作都跟地面上的感觉一样，没有什么不同。

再比如，在一座匀速上升的电梯里，如果你从口袋里拿出一个小球之后放手，小球同样会遵循自由落体定律（忽略空气阻力）下落到电梯的地板上，跟你在地面上的实验效果完全一致，以至于你无法区分电梯到底是静止的还是匀速上升的。类似的例子还有很多很多，这里就不再赘述了。相对性原理其实是非常自然的，自然到我们几乎感觉不到它的存在，就像我们平时感觉不到空气的存在一样。

通过上面的描述，我们可以将伽利略相对性原理的第一个内涵重新概括为：我们无法通过任何力学实验区分静止和匀速直线运动的参考系。意思就是说，如果你在一个静止的参考系中做一个力学实验，然后把实验装置、实验条件原封不动地搬到另一个作匀速直线运动的参考系上面再做一次，前后两次实验的结果应当是相同的，不会显示出任何差别。

既然我们无法通过力学实验区分静止和匀速直线运动这两种参考系，那就说明静止参考系和匀速直线运动参考系的力学特征是相同的，以至于我们无法区分谁在匀速直线运动，谁是静止。所以相对性原理实际上是揭示了：静止和匀速直线运动的参考系是等价的，我们把这两种参考系统称为惯性系。

实际上，相对性原理还告诉了我们一个公平的事实，即这个世界上不存在特殊的、优越的惯性系，所有的惯性系都是平等的，上帝不会偏爱任何一个。所以，我们也可以将相对性原理等价地表述为：所有惯性系都是平权的。

看到这里，我相信你肯定会有疑问。既然相对性原理说的是所有惯性系是平权和等价的，那到底什么是惯性系？我们并没有先定义惯性系啊，怎么可以不管三七二十一就拿这个概念来描述相对性原理呢？你总不能说惯性系就是静止和匀速直线运动的参考系吧，这样的回答并没有解释惯性系的涵义，仅仅用另外一个名称来指代而已。如果我们继续追问，那什么叫做静止和匀速直线运动的参考系呢，你难道还想回答说：静止和匀速直线运动的参考系就是惯性系吗？显然，这样的回答是很难令人满意的。

那惯性系到底是什么意思？

【3 惯性系】

惯性系是狭义相对论的出发点，也是狭义相对论的适用范围，但是它的定义却是一个非常困难的事情。通常的教科书都把惯性系定义为：不受外力作用的物体，在其中保持静止或匀速直线运动的状态而不变的参考系。也就是说，如果一个参考系中的物体不受外力的作用（合外力为零），而且还保持静止或匀速直线运动的状态，那么这个物体所处的参考系就是一个惯性系。

但是这样的定义也会遇到另外一个问题：什么叫“不受外力”作用呢？回答只能是：当一个物体在惯性系中保持静止或匀速直线运动的状态不变时，它就没有受到外力作用。如果一个惯性系中的物体不是处于静止或匀速直线运动的状态，那么这个物体就不能称之为“不受外力”。另外，如果物体所处的参考系不是惯性系，而是加速系，那么就算这个物体相对于它所处的加速参考系保持静止或匀速直线运动的状态，也不能称之为“不受外力”，因为加速系中保持静止或匀速直线运动状态的物体实际上是受到了外力的作用（合外力不为零）。比如你坐在一辆加速行驶的高铁上，虽然你与高铁相对静止，但是高铁椅背给了你一个向前的推背力，使得你随着高铁一起加速运动。

于是，我们将看到，定义“惯性系”要先定义“不受外力”，而定义“不受外力”又要依赖惯性系，这就造成了逻辑上的循环定义（俗称“死循环”）。

除此之外，惯性系的定义还有另外一个困难，我们都知道，要描述物体的运动状态首先要先指定参考系，比如说你现在坐在家里是静止的，那是因为你选择了地面作为参考系，如果选择太阳作为参考系，那就不是静止的了。所以，大家发现了吗？当我们用“静止和匀速直线运动”这样的语句来描述惯性系的时候，是存在逻辑问题的，这里的静止和匀速直线运动的参考系是相对于哪个参考系而言的呢？你可以说是相对于另外一个参考系，那另外一个参考系又是相对于谁静止或匀速运动的呢？如果这样一直追问下去，那还有完没完呢？有没有一个特殊的惯性系可以作为终点呢？

巧了！还真“有”。你以为人家牛爵爷没想过这个问题吗？人家清醒得很，他早就知道他的力学定律无法解决惯性系的问题，所以牛顿最终给出的解决方案是：引入绝对静止参考系！没错，就是那个后来被叫做“绝对空间”的神秘的东西。这个绝对空间与以太一样，代表了宇宙中最特殊一个参考系——绝对静止参考系，以这个参考系为基准，任何物体的运动都有静止、匀速和加速三种可能。而且，任何相对绝对空间没有加速度的物体都可被选作惯性参考系。

如果两个参考系彼此作相对匀速直线运动，而其中的一个又是惯性系，那么，另外一个显然也是惯性系。因此，我们可以有任意多个惯性参考系，它们彼此作相对匀速直线运动。

虽然牛顿引入了绝对空间来“解决”惯性系定义的问题。但是绝对空间毕竟只是一个抽象的形而上学的概念而已，它既不能被感觉到，也不能被实验所观测到，以这样一个不可实证的主观概念来定义惯性系，难免让人产生质疑，尽管牛顿的权威无人能出其右。马赫就是第一个站出来挑战牛顿权威的人，爱因斯坦也从马赫那里吸收了批判绝对空间观的思想，并最终抛弃了牛顿绝对时空观，成功地创立了狭义相对论。（关于绝对空间观被取代的过程，我将在后续的文章中另作讨论）

所以，宇宙中是否存在真正的严格的惯性系？

很遗憾，这样的惯性系并不存在，所谓的惯性系只不过是一种近似的惯性系而已，我们只能说一个参考系比另外一个参考系更接近惯性系。

实践表明，地面参考系就很像是一个惯性系。可是某些精确的测量表明它不是严格的惯性系。其原因可归结为地球在太阳参考系中的转动。地面参考系偏离惯性系的程度可用它自转引起的加速度来衡量，它的大小为：

与地面上的重力加速度相比，这个数值不算太大。如果说是因为地球在太阳参考系中转动，使得它不能作为严格的惯性系，那太阳又在银河系中转动，它是严格的惯性系吗？太阳在银河系中公转的加速度估算为：

这个加速度比地球自转的加速度小的多，可见太阳系比地面系更接近惯性系，但是它终究也不是严格的惯性系。那么银河系中心是完全不加速的吗？

银河系是宇宙中一个中等大小的普通星系，由于各星系间有引力，它必然也在作加速运动。或许这加速度更小了，但它终究也不会是严格的惯性系。这样的分析使我们得到一个概念：由于引力作用的普遍存在，任一物质的参考系总有加速度，因而总不会是真正的、严格的惯性系，只不过尺度越大，物质越稀疏，相应的引力越弱，因此能找到更好的惯性系。目前，最接近惯性系的参考系是FK4参考系，它是由1535个恒星平均静止位形作为基准的参考系。

关于惯性系的问题就暂且到此为止，这里不再深究，我们只需要近似地认为地球是惯性系即可，这样的近似并不妨碍我们讨论狭义相对论的内容。

【4 第二种内涵】

伽利略相对性原理的第一个内涵表明了惯性系之间是等价的，我们无法通过任何力学实验区分静止和匀速直线运动的惯性系，这种表述的侧重点在于惯性系之间的等价性。但是，实际上相对性原理还有另外一种比较重要的内涵。

我们以自由落体定律为例，这个定律通过定量的方式描述了自由下落（忽略空气阻力）的物体的下落距离h与时间t之间的数学关系式：

其中g是重力加速度，约等于9.8m/s2。

在此之前，人们普遍受到亚里士多德世界观的影响，认为重的物体下落速度快，轻的物体下落速度慢，比如：同时释放一个铁球和一片羽毛，铁球比羽毛更快着地。后来，伽利略通过大量的实验观测和数学归纳发现了自由落体定律，即如果不考虑空气阻力的话，那么任何物体的下落速度都是一样的，无论是重物还是轻物，它们都将同时落地。这个基于实验事实和数学逻辑的定律成功地证伪了亚里士多德的观点。

如果我们在地面上的真空环境中来做自由落体这个实验，那么这个实验当然是满足自由落体定律的，也就是物体的下落距离h与时间t满足上面的自由落体公式。如果把实验（包括环境和条件等）完全搬到一辆相对于地面作匀速直线运动的火车上再重复做一次，那么无论是根据我们的生活经验，还是伽利略相对性原理的第一个内涵，火车上的实验结果应当与地面上的结果是相同的，也就是说自由落体定律在火车上依然成立，火车上的物体自由下落的距离h与时间t之间的数学关系仍然满足自由落体公式。也正因为前后两次实验结果是相同的，我们才无法区分火车到底是静止的还是在作匀速直线运动（呼应了第一种内涵）。

所以，伽利略力学相对性原理的另外一个内涵可以表述为：力学定律在不同惯性系是相同的，即表达基本规律的数学关系式对不同的惯性系是相同的。这个内涵强调的是如果物理定律是正确的，那么无论在哪个惯性系，该物理定律都是成立的。也就是说，相对性原理关心的是物理定律是否在不同惯性系中都能成立。

这是相对性原理的另外一个内涵，这个内涵侧重于物理定律在不同惯性系中是否依然成立，如果成立，那么就满足相对性原理。实际上，这个内涵与上面第一个内涵是等价的，只是描述的角度不同而已。

【5 伽利略变换】

接下来我们来认识一个非常重要的时空变换，这个变换与相对性原理有着非常密切的联系。

首先，我们先来了解一个非常重要的概念——事件。"事件"这个概念其实是非常直观的，一声咳嗽、两车相撞以及炸弹爆炸都是实际发生的事件。每个实际事件都要占据空间的一个小区域，而且要持续一小段时间。物理学中的事件概念则是实际事件的模型化，即认为每一个事件发生在空间的一点和时间的一瞬(一个时刻)。甚至，不论有没有什么有意义的事情发生，空间的一点和时间的一瞬的结合都叫做一个事件。如果两件事情在同时同地发生(例如某人在咳嗽的同时眨了一下眼)，则认为是同一事件。全体事件的集合称为时空，因此事件也称为时空点，而且每一个事件都是唯一的、绝对的。

为了定量地描述某个事件，我们引入坐标系，并观察同一个事件在不同坐标系下的时空坐标之间的联系。

首先，设О是地面参考系（近似为惯性系）的一个空间点，以它为原点建立一个相对于地面参考系保持静止的直角坐标系，记作K系。则对于发生在K系空间点{x，y，z}和时刻t的事件p，我们可以用如下形式表示:

即在原来的三维空间坐标的基础上加入一个时间坐标来描述一个事件，因此，每个事件有4个坐标，我们称为4维时空坐标。

设有一列火车相对于地面参考系K作匀速直线平动，则火车系也是一个惯性系，我们可以类似地在火车内建立一个坐标系，记作K'系，原点记为O'。则对于同一个事件p（注意，是同一个事件），在K'系测出来也应该有一个时空坐标：

既然同一个事件p在两个不同的惯性系中可以分别用两组不同的时空坐标来描述，那么这两组时空坐标之间是否存在关联呢？这是值得我们考虑的，也是很自然的一个问题。就好比我们从不同角度描述同一个人，如果从侧面看颜值100分，但是从正面看颜值80分，那这两个结论应该存在一个联系，毕竟我们描述的是同一个人。其实我们都知道这个联系就是：100分与80分的观察角度之间彼此垂直。

好，我们现在就来寻找同一个事件p在两个不同的惯性系中时空坐标之间的变换关系。为了简单起见，我们假设火车系K'沿着地面系K的x轴正方向以相对速度v作匀速直线平动，即x轴和x'轴重合，但有相对运动。刚开始的时候两个惯性坐标系的空间坐标原点O和O'在t'=t=0时刻重合（两个原点相遇），y轴和y'轴、z轴和z'轴在坐标轴方向上没有相对运动，且在任何时刻的方向都相同。

在K系看来，经过时间t之后在空间点{x，y，z}发生了一个事件p，记该事件p在K系的时空坐标为{t，x，y，z}，在K'系的时空坐标记为{t'，x'，y'，z'}。

首先来看时间坐标t和t'之间的关系。这两个时间坐标的意义是非常清晰的，同一个事件p在K系发生的时刻为t，而在K'系看来，其发生时刻为t'。根据我们的生活经验，这两个时刻应该相同的，难不成两个坐标系的时间还不一样？

比如：每天新闻联播播出的时间都是北京时间晚上7点整，无论我们是在家里（地面系）看，还是在火车上看，新闻联播播出的时间肯定都是同一个时间（排除网络延迟等因素）；我们在地面系观测太阳升起的时间与在火车系上的人观测到的时间也是相同的（假设两系所用的测量时钟是同步和准确的）；我在地面上打电话给火车上的人，接通电话瞬间对应的时间显然也是一样的。还有很多很多类似的同时性的例子。这些例子都说明同一个事件在不同参考系的同时性是绝对的，即时间是绝对的，不同空间中的时间是绝对相同的，时间与空间独立无关，不随空间的变化而变化。

这些观念非常符合我们的生活经验和主观直觉，在伽利略的时代，人们对时间的认识就是这样一种绝对的时间观。后来牛顿在《自然哲学的数学原理》的一开头就给时间作了这样的描述：绝对的、真实的、数学的时间，由其特性决定，自身均匀的流逝，与一切外在事物无关。

牛顿《自然哲学的数学原理》

在这种绝对时间观的背景下，同一个事件p在两个不同惯性系的时间坐标当然是相等的，即：

再来看看空间坐标，由于K系的y轴、z轴与K'系的y'轴、z'轴在坐标轴方向上没有相对运动，因此任何时刻都有：

最后就只剩下x和x'的变换关系了。我们不妨先站在K系来观察K'系的原点O'的运动情况，由于O'以速度v向x轴正方向匀速平动，那么经过了时间t之后，O'向x轴方向移动了vt的距离，这时候K'系的原点O'距离事件p在x轴方向上的距离为x-vt（注意，这是在K系观测的结果）。

那么在K'系观测原点O'距离事件p在x轴方向上的距离（即x'），是否跟K系观测到的距离相等呢？也就是说，在两个不同惯性参考系观测同一个空间距离的结果是否相等？这么简单直观的一个问题，我在这里啰里啰嗦分析得不亦乐乎，你们会不会觉得很好笑？这两个观测结果显然相等啊，还分析个锤子啊。

没错，这两个观测结果是相等的，即x'=x-vt，非常符合我们的生活经验和主观直觉。牛顿在《自然哲学的数学原理》对空间也是这样定义的：绝对空间其自身的特性与一切外在事物无关，处处均匀，永不移动。

也就是说，空间像一个坚固的大盒子，无法被压缩，也不会随任何外部作用或观察者而改变。这就是绝对空间观。

伽利略和牛顿延续了2000年前亚里士多德的哲学观念体系，把这种绝对空间观用在力学定律的研究上而取得了巨大的成功。

我们举个例子来解释绝对空间观：你在火车上测量一把尺子的长度（长度属于空间概念之一），跟你在地面上测量火车上同一把尺子（注意，是火车上的尺子）的长度是相等的，因为尺子的长度是绝对的，不随观测参考系的改变而改变。

如果把我们上面分析的O'距离事件p在x轴方向上的距离看作是同一把尺子，那么根据绝对空间观，在地面系K和火车系K'测出来的长度应该是相等的，也就是x'=x-vt。

这个变换关系看起来非常直观和显然，甚至连小学生都可以自己推算出来，但是其背后实际上是以绝对空间观作为基础和大背景的，尽管我们常常会忽略这个大背景。

于是，在伽利略和牛顿的绝对时空观的大背景下，我们终于找到了同一个事件p在两个不同惯性系之间的时空坐标变换关系：

这就是大名鼎鼎的伽利略变换式。（是不是很简单？）

只要你承认绝对时间和绝对空间的观点，那么就自然而然地可以推导出伽利略变换式。也就是说，伽利略变换式的成立是建立在绝对时空观的基础之上的，或者说伽利略变换式体现了绝对时空观。

【6 协变性】

有了事件概念、绝对时空观和伽利略变换式之后，我们继续来探讨另外一个核心概念：协变性。

我在上面说到伽利略力学相对性原理的第二种内涵：力学定律在不同惯性系是相同的，即表达基本规律的数学关系式对不同的惯性系是相同的。这个内涵实际上是说，如果我们以相同的条件在不同惯性系里做同一个实验，应当得到相同的结果。

这里有一个关键点，相对性原理要求的是在不同惯性系里分别观察同一件事情的结果应该是相同的。比如，在一个惯性系中观察自由落体实验，以及在另外一个惯性系中观察自由落体实验（同一件事情），这其实是涉及到两次相同的实验，如果用上面的事件概念来描述，两次相同的实验实际上是两个不同的事件（集），相对性原理要求这两次实验满足相同的定律，即自由落体定律。

那如果是在不同惯性系中同时观察同一次实验（注意哦，这里是同一次实验，与同一个实验的意思不同），也就是把同一次实验的时空坐标从一个惯性系变换（比如伽利略变换）到另外一个惯性系中，或者说在另外一个惯性系中也有一个观察者同时在观察同一次实验，那么这个实验在新的惯性系中所满足的定律或者说数学关系式是否依然保持不变？

如果能够保持不变，我们就说这个实验的物理定律在时空变换（比如伽利略变换）下具有协变性或者不变性（不变性其实就是数学里面的对称性，有一种描述对称性的数学理论叫群论，这个理论的创立者极具天才，以后有机会单独叙述一番）

我们举个例子来解释一些协变性：假设一个力学实验在地面系所满足的数学关系式是A=B C，其中A、B和C是地面系时空坐标(x,y,z,t)的函数，如果我们在匀速直线运动的火车系上观察同一次实验，那么这几个物理量也会相应地变成了火车系上的A’、B’和C’，其中A’、B’和C’是火车系时空坐标(x’,y’,z’,t’)的函数，且火车系的时空坐标(x’,y’,z’,t’)与地面系的时空坐标(x,y,z,t)之间满足伽利略变换式（即在伽利略变换下变换时空坐标）。

如果火车系上观察到的这次力学实验仍然满足A’=B’ C’这样的数学关系式，那么我们就说这个力学实验的定律在伽利略变换下的数学关系式保持不变，也即具有伽利略协变性。注意，这里说的数学关系式不变，并不是说在火车系上A’、B’和C’这些物理量的观测值保持不变，而是说在火车系上，物理量A’、B’和C’随着时空坐标的改变而一起协同改变，但是最后的数学关系式依然保持A’=B’ C’这样的形式，这就是力学定律具有伽利略协变性的真正含义。

那大家有没有感觉协变性的内涵跟相对性原理的内涵很像？两者看起来好像是同一个意思，都是说力学定律在不同惯性系中是相同的，数学关系式保持不变等等。

【7 协变性与相对性原理的关系】

协变性与相对性原理到底是何关系？我们来仔细对比分析一下。这里我们仅针对伽利略协变性来进行分析（这句话的另一层意思就是还有其他协变性，我会在下一篇文章中谈到）。

首先来看相对性原理，根据我们上面叙述的第二种内涵，相对性原理要求的是在不同惯性系里分别观察同一件事情的结果是相同的。也就是说，如果我们以相同的条件在不同惯性系里分别做同一个实验，应当得到相同的结果。这里的“在不同惯性系里分别做同一个实验”，其实是涉及了两次实验，只不过两次实验的内容是相同的，如果按照事件的概念来理解，“在不同惯性系里分别做同一个实验”其实就是两个不同的事件（集）。

再来看协变性，协变性的意思是在不同惯性系中同时观察同一次实验，经过伽利略变换之后，其数学关系式保持不变。比如，一个水手从正在匀速直线行驶的帆船桅杆顶部放下一个铅球，他看到铅球沿桅杆竖直下落（满足自由落体定律）；码头上有一个人用望远镜观察水手放下铅球这个现象（即观察同一次实验），发现铅球的轨迹是抛物线，但是在垂直方向上的下落距离仍然满足自由落体定律。因此，我们说自由落体定律具有伽利略协变性，即在两个惯性系看来，这个定律的同一次实验在伽利略变换下满足相同的数学关系式。

所以协变性与相对性原理最关键的不同点在于，相对性原理要求在不同惯性系中分别观察同一件事情（涉及两次实验），而协变性要求的是同时观察同一次实验。虽然两者有所区别，但是其关系却非常密切。下面我们直接给出结论（仅针对伽利略协变性）：

伽利略协变性是相对性原理的充分条件，即如果一个物理定律满足伽利略协变性，那么必然满足相对性原理。但是，反过来却不一定成立，即如果一个物理定律满足相对性原理，则不一定具有伽利略协变性。

例如，机械能守恒定律是满足相对性原理的，但是却不满足伽利略协变性。

具体原因我这里只简单描述一下：假如我们在匀速直线运动的火车系上做一个小球沿光滑曲线轨道下滚的实验，这个实验在火车系上的人看来，满足机械能守恒的条件，即只有重力做功，轨道支持力与速度垂直，不做功。但是在地面上的人看来却并非如此，因为小球的速度是火车速度和小球本身在火车系中的速度的合速度，这个速度不再与轨道曲线相切，所以它与支持力之间并不是垂直关系，也就是说支持力肯定会对小球做功，那小球的机械能当然不可能守恒了。不守恒意味着什么？意味着火车上的机械能守恒定律的数学表达式与地面系观察到的数学表达式不一样。实际上，地面系的表达式会多出一项，这一项就是支持力所做的功。既然表达式不一样，那当然就不满足伽利略协变性。

然而，如果我们以相同的条件分别在火车系和地面系上做这个实验，由于两次实验中我们观察到的曲线轨道对小球的支持力始终与速度垂直，所以支持力都不做功，满足机械能守恒条件。因此，机械能守恒定律在火车系和地面系都成立，其数学表达式都是相同的。这就说明机械能守恒定律是满足相对性原理的。

所以，机械能守恒定律满足相对性原理，但是却不满足伽利略协变性。

【8 牛顿第二定律】

有了伽利略变换这个相对性原理的充分性判据之后，我们来检验一下牛顿力学中最重要的一个定律——牛顿第二定律f=ma，看看它是否满足相对性原理。只要我们能够证明牛顿第二定律具有伽利略协变性，也就是这个定律在伽利略变换下的数学关系式保持不变，那么就可以证明牛顿第二定律满足相对性原理。

废话少说，我们来考察牛顿第二定律f=ma中涉及到的三个物理量分别在地面系和火车系上的观测值。

为简单起见，我们只讨论在x轴方向上的牛顿第二定律，并继续沿用上述的火车K'沿地面系K的x轴方向作匀速直线平动的简化模型。现在假设在地面系K观测一个质量为m的物体，在一个恒力f（沿x轴方向）的作用以加速度a作匀加速直线运动，以f'、m'、a'依次代表K'系测得的恒力、质量和加速度。

在牛顿力学中，质量m是物体的固有属性，在不同惯性系下一定具有相同的值，是个不变量。因此，无论是在地面系还是火车系，质量m是恒定不变的，即m=m'。外力f也是一个不变量，想想看，若在匀速运动火车系下用弹簧测力计竖直拉一个物块，弹簧伸长1cm，显示拉力10N，在地面系看到的拉力也会是10N，即力f也是一个不变量。

于是，为证明不同惯性系下牛顿第二定律的数学关系式是否不变，最终就看加速度a在伽利略变换下是否保持不变了。

我们都知道，物体的运动是通过位移随时间的变化规律来刻画的，也就是说位移是时间的函数，那么位移对时间的导数就是速度，而速度对时间的导数就是加速度。

因此，在地面系K看来，物体的运动速度为：

加速度为：

其中，x和u均为时间的函数。

根据伽利略变换式：

在火车系K'看来，物体的运动速度为：

第二个等号成立是因为x'=x-vt和t=t'这两个式子。所以，同一个物体受到恒力作用之后，在地面系K和火车系K'分别观测到的速度u和u'之间满足如下变换式：

其中，v是火车系与地面系的相对速度，是一个常量。这就是我们非常熟悉的速度合成法则（我在第一篇文章中已经多次使用了这个法则）。这个法则其实是非常简单直观和符合生活经验的，比如，火车系相对地面系的运动速度是v=200公里/小时，火车上一位乘客以相对于火车5公里/小时的速度u'匀速直线走动，那么在地面系的人看来，火车上的这位乘客的速度u=200 5=205公里/小时。

有了速度合成法则之后，加速度a和a'之间的协变关系就变得非常简单了，直接对速度进行求导：

第二个等号成立是因为u'=u-v和t=t'，第四个等号成立是因为v是常量，其对时间的导数为0。因此，地面系和火车系上观测到的加速度a和a'也是相等的。也就是说，牛顿第二定律三个物理量在伽利略变换下的值都是相等的。

又由于牛顿第二定律在地面系的数学关系式是f=ma，那么在火车系中的数学关系式当然也是f'=m'a'这个形式（因为伽利略变换之后三个物理量的值都一样的嘛），这不就意味着牛顿第二定律的数学关系式在伽利略变换下保持不变吗？因此，牛顿第二定律具有伽利略协变性，所以满足相对性原理。Q.E.D！

事实上，不只是牛顿第二定律，牛顿力学的所有定律都具有伽利略协变性，都满足相对性原理。

相对性原理和伽利略变换式在牛顿绝对时空观的大背景下迸发出双剑合璧的威力和光芒，在描述天上地下的自然现象方面无往而不利，所向披靡。它们不仅能描述地上的苹果下落、物体运动等力学现象，也能解释日月星辰运行规律和潮涨潮落等天文现象，并最终以几乎完美的方式建立起了人类史上第一座宏伟的经典力学大厦，取得了空前的成功。

【9 结语和预告】

伽利略通过力学实验现象在不同惯性系中的相同表现提炼出了相对性原理的内涵，即任何力学实验都无法区分静止和匀速直线运动的参考系（也就是说所有惯性系都是平权的）。也可以等价的表述为：力学定律在不同惯性系是相同的，即表达基本规律的数学关系式对不同的惯性系是相同的（力学定律在不同惯性系中依然成立）。

相对性原理实际上是一个从实践和经验中总结出来的一个普遍性的基本原理，它的地位比一般的定律更基础，是一个“管定律的定律”，想要成为定律就必须服从这个原理的要求。所以相对性原理是其他定律的定律，就好比中央银行与商业银行之间的关系，所有的商业银行必须服从中央银行的管理，中央银行是“管银行的银行”。

当我们把相对性原理应用在牛顿力学领域的时候，这个原理就是伽利略的力学相对性原理。同时，与这个原理适配的时空变换就是伽利略变换，这个变换是联系两个不同惯性系的桥梁。在伽利略变换下，牛顿力学定律具有协变性（数学关系式保持不变）。伽利略变换是牛顿绝对时空观的体现，也是判断一个定律是否符合相对性原理的一个充分条件。但是，伽利略变换也仅仅是充分条件而已，不满足伽利略变换的定律，我们没有充分理由断言它就不满足相对性原理。同样，满足相对性原理的定律，我们也不能说它就一定具有伽利略协变性。

一般地，对于像牛顿运动定律这样的规律，它们没有附加条件，所以属于更普遍的规律，对这类规律而言，具有协变性和服从相对性原理是等价的。而有些规律，比如机械能守恒定律，是有附加条件的，这类条件通常不具有协变性，由此就导致了这些规律不具有协变性。而不具有协变性却仍然服从相对性原理，是由于这些规律本身蕴含在更一般的规律之中，可由这些更普遍的规律推导得出。

虽然相对性原理的名字中含有“相对”二字，但是通过我们上面的叙述，相信你也看出来了，这个原理真正想表达的是物理定律的协变性和不变性思想。尽管我们可以随意选择惯性参考系（选择不同惯性参考系就含有相对性的意思），但是物理定律不应该随着惯性系的改变而改变，也就是说，物理定律不会因为观察者的不同而不同，这就是物理定律的协变性和不变性。这个内涵延伸一下就是，我们看问题的时候可以选择不同的角度，但是问题本身依然客观存在，不会因为角度的不同而改变或消失，我们应该勇敢直面问题本身。但是，即便如此，我们依然可以选择合适的角度（不同惯性系）来看待问题，使得问题在这个角度下呈现出我们关心和需要的一面（即在不同惯性系下的投影不同），为问题的有效解决创造有利性的条件。

随着后面对相对论学习的深入，你会发现相对论其实称之为不变论、绝对论或许更为准确，因为它最核心的思想就是在各种相对变换中发现更本质的、绝对不变的物理量。（等后面我们谈到时空间隔和张量等概念的时候，相信你会对相对论中的绝对性思想有进一步的体会）

相对性原理的思想引导我们超越从个别角度（参考系) 认识问题的局限性，去寻求不同参考系内自然界中与观察者无关的客观规律。例如，在地球表面上虽然各点并没有统一的“上" 和“下”的方向，但所谓“下”，都应是指向地心的。这才是从地球的一处到另一处的不变性，其中蕴涵了深刻的物理规律——万有引力定律。现代物理学已不是被动地去协调不同参考系中的观测数据, 而是自觉地去探索不同参考系中物理量、物理规律之间的变换关系, 以及变换中的不变量(对称性)，以便超越自我认识上的局限性，去把握物理世界中更深层次的奥秘。

上面洋洋洒洒说了这么多，其实我们还仅仅是在力学领域内讨论相对性原理，即力学相对性原理。当然啦，相对性原理在力学领域内工作良好，并与伽利略变换式完美匹配，为牛顿力学理论大厦奠定了坚实的基石。但是，相对性原理作为一个普遍性的基本原理，它的适用范围难道仅仅局限于力学领域内吗？如果我们把它推广到其他领域，比如电磁领域，作为“管定律的定律”的相对性原理还能不能hold得住呢？我们将在下一篇文章中来揭晓，敬请期待！

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