矩形折叠十大模型题解（犹抱琵琶半遮面）

接着上周内容，今天我们分享另外七个数学模型，帮助我们理解，并指导解决生活中的问题。

首先分享2个和国家经济增长相关的数学模型，一个是“柯布-道格拉斯模型”，另一个是“索罗模型”。现在我们假设大写字母O代表经济产量，A代表技术进步，s代表储蓄率，d代表折旧率，L代表劳动力，K代表固定资产投资。那么“柯布”模型就表示为O与L的平方根K、平方根乘积成正比（O=常数*根号下L*根号下K）。而“索罗”模型就表示为O与A的平方、L、S/d乘积相等（O=A的平方*L*s/d）。

柯布模型能够非常准确的拟合一个国家或者经济体发展前期的数据，特别是解释改革开放前30年的发展历程。改革开放初期，国家内部大量的资金和廉价劳动力，为国家的迅猛发展提供了庞大动力。但是随着劳动力的饱和和成本增加，由于L和K均有平方根的制约，产量O的增加急剧减小，因为劳动力和固定资产是有限的，不可能无限的增加，而且固定资产还有折旧，终有一天固定资产投资将等于固定资产折旧。这就导致经济发展进入了瓶颈，不能够快速增长了。如果没有其他因素刺激，经济就会停滞。

柯布模型告诉我们，依靠劳动力和投资拉动经济的做法不可持久，增长终会趋于停滞。

而索罗模型则从另一个方面拟合了经济发展数据。凭借对这个模型的研究和发展，索罗本人和另两位经济学家（威廉-诺德豪斯、保罗-罗默）分别获得1987年和2018年诺贝尔经济学奖。该模型指出，一个工厂或者企业，不仅要让劳动力就业，还要让工人拿了工资去投资，这样一来就突破了柯布模型平方根的限制，实现了经济产量和劳动力的正比关系。但是即便如此劳动力和投资作用仍然有限，毕竟劳动力和投资不可能无限增长。令人惊喜的是模型中有A的平方存在，这表明只要有一点点技术创新，就能够带来巨大的增长。这个模型，充分体现了产业升级、科技创新对国家可持续发展的巨大作用。这帮助我们理解，为什么当下社会这么鼓励创新，这么强调产业升级，因为没有创新，不但国家无法维持较高速度的发展，就连想像前些年那样乐观都很难做到。

你之前可能也意识到了科技创新和产业升级的重要性，也可能认为发展经济当然要靠投资和劳动力驱动，创新和升级不过是锦上添花，殊不知今天数学模型让你切身感受到，创新和产业升级对国家经济而言是“生死攸关”大事！

接下来我们继续学“模型”，来看看3个关于传播的模型，分别为：广播、扩散和SIR模型。

广播模型，随处可见，比如新闻的传播，新产品的销售情况。它是我们从公共渠道获取信息的重要方式。他有一个特点，那就是新闻发布的第一天或者新产品发售的第一天，收到的人数最多，关注的人数也最多。这就决定了广播式的传播，前期增长速度很快，越往后越慢，直到最后所有人都获取了信息。它的公式表示为第t 1个时期的传播量I（t 1）等于第t个时期的传播量It，加上传播率Pb和第t个时期的未被传播的人数St的乘积（等于相关人群总数N减去已经传播的人数It）。【I（t 1）=It Pb*St；St=N-It】

扩散模型，也非常常见，比如“流感”的传染，接触到流感病毒的人，很容易被传染。扩散的特点就是，前期人数不多，扩散的不明显，但是随着被传染的人越来越多，扩散的速度也就越来越快，一旦越过了拐点，会呈现指数级增长。这个模型的运用非常广泛，比如市场营销扩散，明星的粉丝扩散，文章的阅读量的扩散等等，都符合扩散模型。它的公式表示为第t 1个时期的传播量I（t 1）等于第t个时期的传播量，加上扩散传播概率Pd、已传播量It/相关人群总数N、第t个时期未被扩散的人数St等三者的乘积。【I（t 1）=It Pd*（It/N）*St】

SIR模型中则有一个关键因素很少被人注意，这就是“恢复概率”Pr，它最初的来源是指“传染病的痊愈”和“流行的退潮”。简单来说，不论是传播还是扩散，接收到信息的人，会在一段时间内把信息忘掉。就比如流感，你被传染了就会成为“抗原”，当被治愈了就不再具有传染性了。这也就解释了为什么当下明星想通过扩大粉丝数量，或者不断砸钱扩大传染度获得成功的概率几乎为零。因为大家都是很健忘的。考虑到了回复率，SIR模型的公式就表示为“扩散模型”减去恢复率Pr和已传染人群It的乘积。【I(t 1)=It Pd*（It/N）*St-Pr*It】

考虑到SIR模型，流行病学研究就给出了一个“基础繁殖数”R0，等于扩散概率Pd比上恢复概率Pr。【R0=Pd/Pr】。当R0大于1时，表明某个东西可以传播扩散出去，当其小于1时，表明某个信息将最终不能被传播出去，过一段时间就会自行消亡。而R0就是营销、宣传、扩大影响率的终极因子。比如著名美国流行歌手贾斯丁·比伯的歌曲R0=24，就足以确定了他个人的魅力和传播能力，这个数值表明他的歌曲传染速度比“荨麻疹”传染的都快！

最后继续分享最后的2个关于“改变”的模型，一个是“马尔科夫过程”，一个是“路径依赖”。

马尔科夫过程，是说如果你想一次性的采取一个行动改变某件事，结果必将徒劳无功。不管你怎么努力改变，最终都仿佛受到了“隐形之手”力量的束缚，回归老样子。马尔科夫模型，让我们从数学原理明白“江山易改本性难移”的深层逻辑。

马尔科夫过程满足四个条件：第一，系统中有有限的状态；第二，状态之间的切换概率是固定的比例；第三，系统具有遍历性，即从任何一个状态出发，都能找到一条路线切换到任意一个其他状态；第四，过程之中没有循环。

举一个例子，非常有趣。比如现在一个教室为一个系统，系统内有两类学生，一类是“认真”的，另一类是“溜号”的。系统中两类学生的转换概率固定，今天认真的学生，明天继续认真的概率90%，10%的学生会溜号，而今天溜号的学生中，明天继续溜号的概率是70%，剩下的30%概率会变成“认真”的学生。每天的转换概率都不变。现假设共有100名学生，今天认真和溜号各占一半儿，那么经过一天以后，认真的学生就会变成60，溜号的学生变成40，第三天66个认真的，34个溜号的，以此推演，最终系统就会趋于稳定，达成认真的学生75人，溜号的学生25人，并不再随着时间发生变化。因为此时下一天将有7.5个人从认真变成溜号，也有7.5个人从溜号变成认真。这个过程就叫做“马尔科夫过程”。

这个模型告诉我们，一个酗酒、吸烟上瘾者，你可以看着他一周甚至一个月戒烟戒酒，但是这并不会影响他继续酗酒、抽烟的概率；还告诉我们逢年过节去慰问敬老院里的老人，为他们表演节目，搞形式多样的慰问，并不会影响老人们的长期精神状态。想要有所改变，就要改变系统，让另一个马尔科夫过程取代现有的过程。马尔科夫模型解释了为什么历史总存在怪圈，因为它本身就是一个马尔科夫过程，临时性的措施往往不能解决根本问题，想要改变历史，就要改变系统本身。

而“路径依赖”模型说的是，过去发生的时间，会在一定程度上改变事件未来发生的概率。比如以数学家波利亚·哲尔吉命名的“波利亚罐”，一开始里边只有一个白球和一个黑球，如果你去随机摸球，摸到了白球，那么接下来就放入罐中两个白球，此时罐子里有两个白球和一个黑球；然后再次随机摸球，如果你再次摸到了白球，那么接下来再放入两个白球，此时就会有三个白球和一个黑球。刚开始黑白被摸到的概率各自都是50%，可是等到第二次摸白球时，白球被摸到的概率就变成了75%，黑球的概率变成了25%。你摸到了什么球，将直接影响你下次还摸到它的概率，这就是“路径依赖”。

现实生活中，比如QWERTY键盘，就是经典的例子，虽然有人认为这种键盘非常不符合人手的结构，也有人专门设计了新的键盘。但是键盘发明之初就是这个样子，当初人们之所以选用这样的键盘，就是为了降低打字的速度，防止老式打字机的键杆相互碰撞。然而今天没有键杆了，却没有人愿意改变打字的习惯，再重新学习一种打字的技能了。当初键盘出现时的小因素，决定了当下键盘发展的路径，后人不得不沿着前者的路径继续走下去。再比如微软的操作系统，1979年党IBM公司研发出第一台个人电脑时，没有操作系统，微软从别人那里买来的DOS拿下了为个人电脑做操作程序的订单，紧接着比尔盖茨又连续在“波利亚罐”中摸到了白球，由于DOS操作系统的兼容性好，他能够开发各种应用程序和游戏，还开发了自己的Office办公软件和游戏平台。这些应用再次连续摸到白球，创造出了一整套电脑市场，到如今个人电脑仍然要依赖于微软的“路径”。

好了，今天的7个模型分享就到这里了，希望你看的过瘾，有所收获，同时祝愿您中秋节快乐！这是与您分享的第474篇文章，欢迎您的阅读，我们下周再见。

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