初中数学手拉手模型教案（九年级数学手拉手模型）

我们学过了全等三角形后，可以学习一些基于全等三角形的模型，今天介绍一下中考的常见的模型之一：手拉手模型

先来认识一下手拉手模型，如图△ABC与△ADE是两个等腰三角形，它们有公共顶点A，且顶角相等∠BAC=∠DAE。把△ADE绕顶点A，任意旋转一定角度，然后连接BD与CE，很像两双手拉在一起，所以叫手拉手模型。

它有三个基本的结论：①BD=CE②∠BAC=∠BFC③AF平分∠BFE

①BD=CE(两人的左手长度和=两人的右手长度和，很形象很容易记住)

②∠BAC=∠BFC(左手与右手的夹角=等腰三角形的顶角a)

③AF平分∠BFE

下面给出基本的证明。

手拉手模型是基于三角形全等，由于是两个等腰三角形，即相当于给了2组相等的对应边，那么我们只要再得到夹角相等就可以利用SAS来证明三角形全等。而这个夹角可以利用它们相同的顶角来推导出来。

证明如下：

因为顶角相等∠BAC=∠DAE，所以它们都加上角∠CAD，得到∠BAC ∠CAD=∠DAE ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。

在△BAD与△CAE中

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE

所以△BAD≌△CAE。所以BD=CE(结论①)，∠ABD=∠ACE。

因为∠AGB=∠FGC(对顶角相等)，根据△ABG与△CFG的内角和都是180度，可得∠BAC=∠BFC(结论②)。如果单独看△ABG与△CFG，它们是一个8字模型，易知∠BAC=∠BFC。

接来下我们证明AF平分∠BFE。根据角分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以尝试过点A作两边的高。即过点A作AP垂直BD于点P，AQ垂直CE于点Q。因为△BAD≌△CAE，所以对应边上的高也相等，即AP=AQ。再根据AF=AF，∠APF=∠AQF(都是直角)，可以得到∠APF≌∠AQF(HL)，所以∠AFP=∠AFQ，即AF平分∠BFE(结论③)。

以上是手拉手模型最基本的结论和证明，如果旋转的角度不同，会变成其它形状，但是都有△BAD≌△CAE。

特殊情况时，两个三角形可以变成等腰直角三角形，等边三角形等等，会得到更多的结论。