费马大定理证实过程（上帝交给脆弱人类的最伟大的接力棒）

17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马给世人留下了数学史上最大的难题。难题困扰了后世的数学家长达三百余年，这就是费马大定理。

大家多年来一直称其为费马大定理，实际上1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯（1953～）已经将其证明，因此也被称为费马的最终定理。

我从费马大定理的历史当中学到了很多。其中之一就是：“计算是一场旅行，而证等是它的轨道。”

证等是表达无形的永恒真理的，永远不朽的轨道。

而人类脆弱的一生，通过数学这场计算的轨道得以延续。

数学究竟是什么？每个数学家应该都曾经考虑过这个问题。

“上帝交给脆弱人类的最伟大的接力棒，就是数学。”

这是我的一些冒昧的想法。

这个接力棒经无数数学家之手交到了怀尔斯手中，费马大定理最终得到了证明。从数学女神手中接过接力棒的瞬间，这种超越时空的接力在数学的世界是可能存在的。

解开费马之谜的确实是怀尔斯。但怀尔斯直接证明的其实并非费马大定理，而是日本的“谷山—志村猜想”。

而在谷山丰、志村五郎(1930～，与谷山一同研究的人)之前还有拉马努金、欧拉，在费马之前还有毕达哥拉斯。过程中不乏激动人心的故事。

而揭开其真面目的旅程过于漫长，想要一一介绍参与其中的数学家是很困难的。本章将以其中一位日本数学家——谷山丰为中心展开。

全世界数学家哪怕耗尽一生、搭上全部身家向费马大定理发起挑战，却都纷纷被击败了。实际上日本数学家也为费马大定理的证明作出了莫大的贡献。

书写在书页空白处的众多定理

费马生于法国西南地区的一个小镇，他毕业于图卢兹大学，作为一名法律学家度过了自己的一生。费马在繁忙的法庭工作的间隙对数学也进行了研究，可谓是最伟大的业余数学家。

费马大定理也并没有被发表为正式的论文。它不过是费马在阅读古希腊数学家丢番图。(约210年～约290年)所著的数学典籍《算术》时，随手在书的空白处写下的一句话而已。

在费马去世后的1670年，他的儿子出版了附带费马评论的特别版《算术》，费马大定理才为世人所知。书中记载了费马发现的诸多定理，却没有记录定理的证明过程。后来这些定理经欧拉之手一一得到了证明。

可是，最后有一个定理，欧拉无论如何也无法证明。这就是费马大定理，也被称作费马的最终定理。

那么费马大定理究竟是什么呢？它被称作是数学史上最大的难题，大家恐怕会因此误以为只有专业的数学家才能想明白这个问题吧。

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实际上，它简单的令人惊讶，只要明白毕达哥拉斯定理，就一定能明白费马大定理的原理。请看上图，非常简单明了。 N=2时，这毫无疑问就是毕达哥拉斯定理，满足这一等式的三个整数的组合存在无数个，也就是所谓的毕达哥拉斯数。

最为人所熟知的应当就是3、4、5。“3² 4²=5²”，这一结果通过心算就能够验证。哪怕是初中生，应当也有不少人能够记住“5² 12²=13²” “8² 15²=17²”吧。

n=2时，方程的解有无数个。但一旦n=3，方程就不存在正整数解。当n大于等于3时，方程不存在正整数解——这就是费马大定理，理解起来非常简单。虽然如此，想要证明它却是极为困难的。

费马本人证明了这个问题吗？在书上的空白处，他写下了这样一句话。

“我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

由此，后世的数学家们艰苦卓绝的奋斗史拉开了序幕。

震惊国际数学界的“谷山—志村猜想”

怀尔斯第一次听说费马大定理是在1963年。那年他刚刚10岁。当时，他心想“我要证明这个定理！”

怀尔斯从那时起就一直心怀这一梦想，但在他成为剑桥大学的研究生之后，却暂时搁置了自己对梦想的追求。

他的导师忠告他说：“怀尔斯，你听好。我很能理解你想要证明费马大定理的心情，但每一个沉迷于费马的人最后落得什么样的结果，你是清楚的。你非常优秀，决不要走上证明费马大定理的道路。你还是去研究有理椭圆曲线(系数为有理数的椭圆曲线)吧！”

怀尔斯认识到现有的方法还不足以证明费马大定理，便暂时搁置了自己的梦想，开始着手研究“有理椭圆曲线”。这是决定他命运的选择。对椭圆曲线的研究，最终为他证明费马大定理做好了铺垫。

椭圆曲线简单而言，就是方程为y²=x³ ax² bx c 的曲线。虽然叫作椭圆曲线，但是和椭圆并没有什么关系。

关于椭圆曲线，谷山丰提出了一个里程碑式的想法。1955年，日本举办了“代数数论国际研讨会”。全世界研究数论的学者们齐聚战后不久、一片荒凉的日本，恐怕多少有些想要鼓励年青一代日本数学家的意思。

谷山在这次会议上提出了一个猜测：“所有的有理椭圆曲线都是模曲线。”

当时，世界顶尖的数学家，法国天才安德烈·韦伊甚至惊呼：“你在胡说些什么！”

谷山的想法就是这么令人感到惊奇。而他当时也并没有能够清楚明白地作出说明。

其后，谷山的友人志村五郎成功为这一猜测做出了完美的说明，这一猜测最终也被命名“谷山—志村猜想”，但当时没有任何人将“谷山—志村猜想”与费马大定理联系起来。

但证明费马大定理的前奏自研讨会开始已然奏响。谷山在研讨会上提出的是如下所示的问题。

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谷山—志村猜想的内容如下所述：

“椭圆曲线上的ζ函数是自守形式的双重ζ函数。”

各位读者们应当还记得这句话：“数学是一种语言。”想要完全理解这种语言，就需要进行计算。我曾经在补习班上教授高中数学，在开始计算前，我总会向学生们这样说：

“现在开始计算！不，在那之前还要重视语言！”

数学是人类创造的“唯一的、最强大的人造语言。”

关于“ζ函数”将在后文进行讲解。首先，所谓“自守形式”是一种含有模形式的一种函数。

那么模形式究竟是什么呢？数论权威，德国的马丁·艾希勒(1912～1992)认为：数学的基本运算共有5种：加法、减法、乘法、除法和模形式。”

模形式是上半平面上的函数，其特点是具有极高的对称性。把实数看作位于一次元(直线)上的数时，可以将复数看作位于二次元(平面)上的数。复数平面是复数存在的平面，也称高斯平面。

椭圆曲线和模形式在数学上属于两种完全不同的领域，所有人都认为两者毫无关联。

然而，谷山—志村猜想却认为“所有的有理椭圆曲线都是模曲线”，并将二者联系了起来。这种想法在当时看起来可以说是不可理喻的。

如果谷山是正确的，那么费马也是正确的

谷山—志村猜想最终在全世界的数学家之间变得无人不知，无人不晓。然而，却没有任何人把它和费马大定理联系起来。

在研讨会近30年之后，1984年，以研究弗赖曲线闻名的德国数学家格哈德·弗赖（1944～）发表了一个令人震惊的观点：“谷山—志村猜想的证明将会直接影响费马大定理的证明。”

其后，在1986年，谷山—志村猜想终于迎来了和费马大定理联系起来的一刻。美国数学家肯·里贝特(1948~)证明了弗赖的观点。美国数学家巴里·梅祖尔(1937~)为里贝特的证明提供了重要提示。

里贝特是这样说的：“如果谷山是正确的，那么费马也是正确的。如果谷山是错误的，那么费马也是错误的。”

在即将迎来21世纪之时，“费马大定理”的证明终于有了重大突破。但当时却有许多数学家认为，这并不能代表什么。

因为，想要证明谷山—志村猜想是极为困难的。

“我懂了。想要证明费马大定理，就必须要先证明谷山—志村猜想。但是，想要证明谷山—志村猜想是不可能的。恐怕会花上几百年的时间……想要证明费马大定理，还是很困难啊。”

人们应当都是这样想的。

没有一个人，想要更进一步——除了那位数学家以外。

那个人就是怀尔斯。他认定费马大定理一定能够被证明。

“我要证明费马大定理”，怀尔斯搁置了自己从10 岁起就心怀的梦想，埋头研究有理椭圆曲线。如今他认识到：“我的研究，说不定能够与费马大定理的证明联系起来。”

他决心独自踏上旅途，乘上这班一生只有一次的列车。“来了！就是它！”

经过无数数学家的接力，使得接力棒最终交接到了怀尔斯手中。他花费了将尽八年的时间，把自己关在阁楼里，与世隔绝地计算着。

——最后，那个时刻来到了。

1994年9月19日上午十点。怀尔斯轻声说道。

“谷山是正确的。所以费马也是正确的。Q.E.D.(证明完毕)”

在这一刻，这场跨越三百余年的接力赛终于落下了帷幕。怀尔斯是这样描述自己当时心情的：“它的美是如此难以形容，它又是如此简单和优美，起初我甚至不敢相信。”

其实，在前一年，1993年，怀尔斯曾经宣称自己证明了费马大定理。然而论文的审查人在审稿时发现了一个缺陷，那是一处完全无法解释的缺陷。在数学领域，经常出现一个小疏忽造成致命错误的情况，想要修补小疏忽时往往会把证明全盘推翻。

怀尔斯立即开始着手修订证明。过去没有任何人了解他证明的过程，如今他却不得不在全世界数学家的瞩目之下进行证明。

在这种情况下，一旦有人抢先证明了大定理，怀尔斯将全盘皆输。在那一年里，他的心情想必很不平静吧。终于，他在第二年完成了证明。

那么，怀尔斯究竟是如何证明的呢？虽然用一句话很难概括，不过其中有部分内容可以用一句话来说明。请看下图。

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怀尔斯最终选择的方法，是通过大量阅读其他数学家们的论文，将其认真消化，将他人的智慧拼凑起来，组合成了一个强有力的武器，以此来迎击费马大定理。

做出这番成就的怀尔斯无疑是一位伟大的数学家。他的成就甚至可以被称作是世纪证明。像这样，在数学的世界里，孤身一人做出惊天成果的英雄事例确实有很多。

不过，若是剖析怀尔斯究竟是如何解决问题的，我认为还是因为数学历经几代数学家们的接力，得到了长足的发展。谷山、志村、弗赖、里贝特、梅祖尔……没有他们，费马大定理是无法被证明的。他们每一个人，都为证明做出了贡献。

不仅是他们。

欧拉、高木贞治、挪威数学家阿特勒·塞尔伯格、奥地利数学家埃米尔·阿廷、因提出“朗兰兹猜想”而闻名的加拿大数学家罗伯特·朗兰兹(1936~)、证明了关于有理代数曲线的重要定理以及莫德尔猜想的德国数学家格尔德·法尔廷斯(1954~)等数论天才们也为费马大定理做出了艰苦努力。

高木创立了类域论这一享誉世界的理论。如果用一句话来概括类域论的话，那就是它证明了数字的世界有多么神秘。

书摘信息：

有趣得让人睡不着的数学

作者：【日本】樱井进

译者：刘子璨

北京时代华文书局

2019年7月第一版

2020年6月第六次印刷

希腊字母表请看下图:

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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