人教版八上数学等腰三角形的判定（学习等腰三角形）

1．等腰三角形

(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．

破疑点 等腰三角形有关概念的认识　(1)对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．

【例1】 等腰三角形两边长分别是5 cm和11 cm，则它的周长是(　　)．

A．27 cm B．22 cm

C．27 cm或22 cm D．无法确定

2．等腰三角形性质1

(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．

(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．

(3)适用条件：必须在同一个三角形中．

(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.

【例2】 已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为(　　)．

A．40° B．80°

C．40°或100° D．100°

【例3】 如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.

3.等腰三角形性质2

(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．

(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．

(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．

(4)应用模式：如图，在△ABC中，

①∵AB=AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；

②∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；

③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴BD＝DC(或AD⊥BC)．

【例4】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底边BC的长．

4．等腰三角形的判定

(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．

(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．

破疑点 等腰三角形的判定方法的理解

教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．

【例5】 如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．

5．等边三角形的概念和性质

(1)等边三角形

①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．

②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．

(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．

【例6】 如图，点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.

6．等边三角形的判定

(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．

(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．

解技巧 巧用条件证明等边三角形　在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.

【例7】 如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

7．含30°角的直角三角形的性质

解技巧 巧用含30°角的直角三角形的性质　在有些题目中，若给出的角是15°角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两内角和将15°的角转化为30°的角后，再利用这个性质解决问题．

【例8】 如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝__________AD.

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