七年级数学有理数的加减乘除（中学生课外读物数的产生与发展）

中学生课外读物《数的产生与发展》（有理数加减乘除），今天小编就来聊一聊关于七年级数学有理数的加减乘除?接下来我们就一起去研究一下吧!

七年级数学有理数的加减乘除

中学生课外读物《数的产生与发展》（有理数加减乘除）

1.正分数概念及加减法

两人上山打了一头野猪，回去怎么分？

将一猪分成两半，一人一半，即一个得到1／2个猪。记为：1÷2＝1／2。若某人拿了两个一半，则他得了1／2＋1／2＝2×（1／2）＝2／2＝1个猪。

同样：一块长方形纸片，三个人去分，折成三等份，每人一份是1／3长方形纸片，记为：1÷3＝1／3。若某人拿了其中2份，则他得了这张纸片的1／3＋1／3＝2×（1／3）＝2／3。若某人拿了其中2份，则他得了这张纸片的1／3＋1／3＋1／3＝3×（1／3）＝3／3＝1，即他得到了整张纸片。

一块圆饼，分成四等份时，若一个拿一份，一人得1／4个饼。若一人拿2份，则他得了2／4个饼，即半个饼，∴2／4＝1／2。若一人拿3份，则他得1／4＋1／4＋1／4＝3x（1／4）＝3／4个饼。若一人拿4份，则他得1／4＋1／4＋1／4＋1／4＝4x（1／4）＝4／4＝1个饼。

两个相同的圆饼各分成4等份，若一个人拿7份，则他得到了7／4＝1 3／4＝1（3／4）个饼。

一般地，将多个相同整体，每个分成n等份，某人拿了其中一份，我们称为他得了这个整体的1／n，若某人拿了其中m份，则他得了1／n＋1／n＋…＋1／n＝m个1／n相加＝m×（1／n）＝m／n。

一般地：若m∈N＋，n∈N＋，n≥2，称m／n为分数，m叫分子，n叫分母。／叫分数线。

由上知：n∈N＋，n≥2时，n／n＝1，（2n）／n＝2，（3n）／n＝3，（4n）／n＝4，（5n）／n＝5，…，（mn）／n＝m，…。

可见，正整数可以表示成分数形式。如2＝4／2＝10／5＝14／7。但不称它为分数。

显然一个整数n可以写成分母为1的分数形式，即n＝n／1。

由得到的多少来定大小可知：

1／2＜2／2＝1＜3／2＜4／2＝2＜5／2＜6÷2＝3＜7／2＜…，

1／3＜2／3＜3／3＝1＜4／3＜5／3＜6／3＝2＜7／3＜8／3＜9／3＝3＜10／3＜…，

1／2＞1／3＞1／4＞1／5＞1／6＞1／7＞1／8＞…＞1／99＞1／100＞1／101＞…，

显然所有的正分数都大于0。

1／2＝2／4＝3／6＝4／8＝5／10＝6／12＝7／14＝8／16＝…＝n／（2n），

1／3＝2／6＝3／9＝4／12＝5／15＝6／18＝7／21＝8／24＝…＝n／（3n），

1／4＝2／8＝3／12＝4／16＝5／20＝6／24＝7／28＝8／32＝…＝n／（4n），

1／5＝2／10＝3／15＝4／20＝5／25＝6／30＝7／35＝8／40＝…＝n／（5n），

一般地，m∈N＋，n∈N＋，n≥2，则1／n＝m／（mn）。

如：1／2＝3／6，1／3＝2／6，

1／2＝6／12，1／3＝4／12，1／4＝3／12，1／6＝6／12，

5／4＝1＋1／4＝1＋5／20＝20／20＋5／20＝25／20，3／5＝4／20，1／10＝2／20，

一般地，不同分母的正分数，可以由此化为同分母的分数，然后由实际意义可作正分数加减法。如：1／2＋1／3＋1／4＝6／12＋4／12＋3／12＝13／12，

3／5＋1／4＋2／7＝84／140＋35／140＋40／140＝（84＋35＋40）／140=159/140=1 19/140=1（19/140）。

7／10-5／35＝49／70-10/70=（49-10）/70=39/70。

反过来：k∈N＋，m∈N＋，n∈N＋，m≥2，n≥2，则km／（nm）＝k／n。

这个过程我们叫做约分。约分将要求出分子分母的最大公约数，然后将分子分母的最大公约数约去，得到的分数就不可能再约分了，这样的分数叫最简分数。

即：若一个正分数的分子与分母没有大于1的约数，则称分子，分母这两个正整数互质，这个分数为最简分数，一般地任一个正分数应写成最简分数，这样我们看到的某个分数就是唯一的，也是统一的。

若一个正分数的分子与分母有大于1的约数，则可将这个约数约去，得到的分数值不变。

由前可见不同分母的加减法，应先将分母变成相同的，即先变成同分母加减。而同分母加减，只需将分子加减，分母不变。

将异分母分数化为同分母分数的过程，称为通分。通分常将各分数变成以各分母的最小公倍数为分母的分数为简便。通分是作分数加减法必不可少的步骤。

为使通分简便，常须求分母的最小公倍数，而一个分数约成最简分数，则需约去分子分母的最大公约数。

几个正整数的最大公约数及最小公倍数可如下求：

①将各数写成大于1的质数之积，

②找出所有公有的质因数，它们相乘得到最大公约数，

③找出所有不同的质因数，它们相乘得到最小公倍数。

如：求24，30的最小公倍数和最大公约数。

解：∵24＝2×2×2×3，

30＝2×3×5，

∴最小公倍数为2×2×2×3×5＝120，最大公约数为2×3＝6。

可见有如下约分和通分：

24/30=4/5，

5/24 7/30

=25/120 28/120

=53/120，

7/30-5/24

=28/120-25/120

=3/120=1/40。

一般地，若两个正分数相减，其差为一个正分数，即大于0，则称被减数大于减数。

如∵7/30-5/24

=28/120-25/120

=3/120=1/40＞0，

∴7/30＞5/24。

又如：5/3-37/33

=（165-111）/99

=54/99＞0，

∴5/3＞37/33。

可见自然数与正分数合在一起后，其中两数差大于0，则被减数大于减数。

正分数中有的小于1，有的大于1。我们将小于1后正分数叫真分数，将大于1的分数叫假分数。

每个假分数可以化为一个正整数加上一个真分数的形式。将这个形式中的加号去掉，将整数写在前面，紧接着写上后面的真分数，变成一个数，我们称为代分数。

如：5/3=1 2/3=1（2/3）。

37/33=1 4/33=1（4/33）。

有了代分数后，正分数的加减法就可先将分数化成代分数，然后整数部分相加减，加上分数部分相加减。

如：5/3＋37/33

＝1（2/3）＋1（4/33）

=（1＋1） （2/3＋4/33）

=2 （66＋12）/99

=2（78/99）。

5/3-37/33

＝1（2/3）-1（4/33）

=（1-1） （2/3-4/33）

=0 （66-12）/99

=54/99。

可见这样可以简化运算，免得计算中有些数过大。

可以证明自然数加上正分数后，加法是封闭的，且满足交换律，结合律。

2.正分数的乘法

显然：m∈N＋，n∈N，＋k∈N＋，n≥2时，

1／n＋1／n＋…＋1／n＝m个1／n之和＝m／n。

k／n＋k／n＋…＋k／n＝m个k／n之和＝（mk）／n。

即正整数乘以一个正分数，分母不变，只需将分子相乘。

∵将1的两个1／2均分成三等份，相当于将1六等份，

∴一份为1的1／6＝1／（2×3）＝（1／2）×（1／3）份。

同样的，先将1分成n等份，得到n个1／n，然后再将每个1／n份m等份，共得到mn个1／（mn），其中k份就是1的k／（mn）倍。∴（1/n）×（1／m）＝1／（mn），（1/n）×（k／m）＝k／（mn）。

一般地：

m，n，k，l∈N＋时，有：

（m／n）×（l／k）＝（ml）／（nk）。

即两个正分数相乘，份得到一个正分数，把分子相乘作为分子，把分母相乘作为分母。

如：（5/22）×（11／10）

＝（5×11）／（22×10）

＝5／（2×10）

＝1／（2×2）

＝1／4。

可以证明自然数加上正分数后，乘法是封闭的，且满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律。

3.正分数的除法

∵（2/3）×（3/2）

＝6／6＝1，

（12/17）×（17/12）

＝（12×17）／（17×12）

＝1，

一般地（n／m）×（m／n）

＝（mn）／（mn）＝1。

∴一个正分数的分子分母互换后得到的分数与这个分数本身相乘，得到积为1。

我们称这样的两个正分数互为倒数。

因定义除法为乘法的逆运算，所以由（n／m）×（ml／nk）＝（mnI）／（mnk）＝l／k得：

（l／k）÷（n／m）＝（ml）／（nk）＝（丨／k）×（m／n）

即有：两个正分数相除，即把被除分数乘以除数的倒数。

如：（3／8）÷（2／3）

＝（3／8）×（3／2）

＝9／16。

4÷（2／3）÷（6／7）

＝（4／1）×（3／2）×（7／6）

＝（4×3×7）／（1×2×6）

＝（12×7）／12

＝7。

可以证明：自然数加上正分数后，除法（除数不为0）是封闭的。即：任一个自然数或正分数除以一个非零自然数或正分数，其商仍为一个自然数或正分数。

这是自然数中或整数中所没有的性质。因不管是自然数中，还是整数中，除法是不封闭的。

但是，自然数加上正分数后，减法是不封闭的，所以我们还要将数扩充，让数的性质更趋完备，完美。

4.负分数和有理数

由实际意义存储3／4与取出3／4合起来为0，用式子表示为：

3/4 （-3/4）=0，我们称-3/4为3/4的相反数，3/4为-3/4的相反数。

同样运出25/3与运进25/3正好抵消，用式子表示为：（-25/3） 25/3=0，称-25/3为25／3的相反数，25/3为-25／3的相反数。

一般地，任一个正分数的相反数为一个负分数，任一个负分数的相反数为一个正分数。

一个正分数对应一个相反数，这个相反数记法：将原正分数前加上一个-号。我们称这个相反数为负分数。

负分数就是一个正分数前加上一个“-”号，这是一种规定的记法。

由实际意义，规定负分数小于0，当然小于正分数。

同整数绝对值定义一样，规定：正分数的绝对值为它本身，负分数的绝对值为其相反数。

由于欠钱的越多表明富有程度越低，自己的财富越少，所以规定两个负分数，绝对值大的反而小，绝对值小的反而大。

如0＞（-2/3）＞（-7/6）（-59/23）。

也即有：自然数和正分数加在一起后，取其中两数，则大数的相反数小，其中小数的相反数大。

这样就把整数和分数合起来后，其中任两个数的大小搞清楚了。

一般地，我们常将最简分数不是整数的分数叫分数，分数包括正分数，负分数，最简分数为整数的数为仍叫整数。

所有的正分数，负分数统称为分数，所有的整数与分数统称为有理数。

正整数和正分数统称为正有理数，负整数和负分数统称为负有理数。

可见：有理数由正有理数，零，负有理数组成。有理数也由整数和分数组成。

所有的有理数组成的一个集合，称为有理数集，常用字母Q表示。

如：3∈Q，3／7∈Q，100/3∈Q，0∈Q，

-3∈Q，-（3／7）∈Q，-（100/3）∈Q。

但3∈Z，-3∈Z，0∈Z成立，

3／7∈Z，100/3∈Z，-（3／7）∈Z，-（100/3）∈Z是不成立的。

5.有理数的加减乘除四则运算

由于在整数和正分数的基础上，又引进了一类新数：负分数，才得到有理数，现问有理数运算会出现哪些不同，又有哪些相同呢？

（1）、关于加法：

两个负分数怎么加？多个呢？

两个负有理数怎么加？多个呢？

一个大于等于0的有理数与一个负有理数怎么加？多个呢？

两个有理数怎么加？多个呢？加法有什么性质和运算律？

（2）、关于减法：

两个有理数怎么减？

减法有什么性质和运算律？

（3）、关于乘法：

两个负分数怎么乘？多个呢？

两个负有理数怎么乘？多个呢？

一个大于等于0的有理数与一个负有理数怎么乘？多个呢？

两个有理数怎么乘？多个呢？乘法有什么性质和运算律？

（4）、关于除法：

两个有理数怎么除？

除法有什么性质和运算律？

弄清楚了这些，所有的有理数的知识系统就建构完成了。

至此为止，我们会发现：

①有理数的加减乘除四则运算都是封闭的。这是至今一个最完备、完美的一个数系。

②有理数是可以比较大小的。

③有理数都是可以进行加减乘除四则运算的。

④所有的有理数都是由1进行加减乘除运算而得到，即1生有理数。显示1的重要性。

1-1＝0。a∈Q时a-a＝0，0＋a＝a＋0＝a，a-0＝a，0-a＝-a，0×a＝a×0＝0。0不能作除数。0即不是正有理数，又不是负有理数。

这一系列性质，表明0的特殊性。

⑤有理数还有一个重要的新性质：有理数是至密的。

即任两个有理数之间仍有有理数，且有无数个新的有理数。

如：1与2之间有无数多的有理数：1/2，1/3，1/4，1/5，…，1/10000，…。

一般地：任取a∈Q，b∈Q，a＜b，则：a与b之间有无数多的有理数：（b-a）/2，（b-a）/3，（b-a）/4，（b-a）／5，…，（b-a）／10000，…。

但但整数集系统中不具备这个性质，即两个整数存在一个最小距离（两数差的绝对值称为这两数之间的距离），显然为1。

即：a∈Z，b∈Z时，la-b丨≥1。

我们称整数是孤立的。

但：a∈Q，b∈Q时，找不到一个正有理数m，使la-b丨≥m恒成立。

所以有理数不是孤立的，而是至密的。

那现在我们要问？由于有理数具有至密性，即两个有理数之间的距离没有最小值，可以永远小下去。这说明有理数不是孤立的吗？哪有理数之间是不是就没有其它的数？还是有其它的数将它们隔开呢？

你能猜出有关正确结论吗？

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