10道趣味数学题 趣味数学三门问题

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• 本文转自数学文化

• 原出处：《数学文化》杂志第7卷第1期

“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提• 霍尔（Monty Hall）。三门问题的前提假设是：

• 现在有三扇门，只有一扇门后面有汽车，其余两扇门后面都是山羊。

• 汽车事前是随机地被放置于三扇门的其中一扇后面。

回答问题的游戏规则是：

• 参赛者在三扇门中挑选一扇，但不打开门；参赛者在挑选前并不知道此扇门后面是什么。

• 主持人知道每扇门后面是什么。

• 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须打开另一扇有山羊的门。

• 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人在另外两扇有山羊的门中打开一扇门。

问题：转换选择可以增加参赛者拿到汽车的机会吗？

三门问题的反响

1990 年，《展示杂志》（Parade Magazine）的专栏作家莎凡特（Marilyn vos Savant）曾撰文叙述了三门问题¹ ：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车，其余两扇后面则是山羊。你最初选择了一道门，假设是一号门，然后知道所有门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”你想想：转换你之前的选择对你得到车有帮助吗² ？

并给出了她的答案：改变初选会更有好处。

没想到这在美国引起了激烈的争议：人们寄来了数千封抱怨信，很多寄信人是老师或学者：

一位来自佛罗里达大学的博士写道：“建议以后您专栏里再要回答此类问题时，请先看看标准的概率书吧。”（May I suggest that you obtain and refer to a standard textbook on probability before you try to answer a question of this type again?）

一位来自乔治城大学的读者来信：“您的回答大错特错；我希望这个事件能够唤醒大众对美国数学教育严重危机的重视度。”（You are utterly incorrect about the game show question, and I hope this controversy will call some public attention to the serious national crisis in mathematical education.）

另一位大学老师来信：“至少三位数学研究人员告诉你犯错了，你还是看不见自己的错误。我很震惊！”（I am in shock that after being corrected by at least three mathematicians, you still do not see your mistake.）

可是，莎凡特并没有错！随后她用整整4 个专栏，数百个新闻故事及在小学生课堂模拟的测验来说服她的读者自己是正的。“哦，那真是太有趣了。实际上我十分享受这些讨厌的来信！”

初等概率解答

如果选择转换，三门问题可被分解成三种可能的情况：

• 参赛者之前挑了山羊一号。此时主持人挑山羊二号，转换将赢得汽车。此情况的可能性为1/3;

• 参赛者之前挑了山羊二号。此时主持人挑山羊一号，转换将赢得汽车。此情况的可能性为1/3;

• 参赛者之前挑了汽车。“此时主持人挑羊一号，转换将失败；或主持人挑羊二号，转换亦将失败。”此情况的可能性为：1/3*1/2 1/3*1/2=1/3.

总结一下：转换后成功选车的概率是2/3, 而选不到车的概率是1/3。

参赛者最初选择时有1/3 的相同概率选择汽车、A 羊和B 羊，转换后的获胜概率为2/3。

如果用《商业内幕》（Business Inside）2013 年的一篇文章里面的图示方法³， 我们可能更清楚地理解这个问题。下面就是相关的三张图。

相关影片

蒙提霍尔问题因美国影片《决胜21点》为大多数非数学专业人士所知晓，该片讲述了几位数学天才少年凭才智大闹赌城拉斯维加斯的故事。在麻省理工学院的数学课上，罗萨教授提出了一个简单的数学题，并从本• 坎贝尔的回答中发现了他的数学天赋：

本：最开始我三选一时，我有33.3%的概率选中汽车。在他开了一扇门，再让我选择时，如果我改变选择，就有66.7% 的概率选中汽车。所以，我改选2 号门，并感谢他多给了我33.3% 的机会。

Ben Campbell: Well, when I was originally asked to pick a door, I had a 33.3%chance of choosing right. But after he opens one of the doors and re-offers me the choice, it's now 66.7% if I choose to switch... So yeah, I'll take door number two and thank you for the extra 33.3%.

《决胜21点》于2008 年在美国上映。讲的是罗萨教授带着坎贝尔等几个数学高材生利用假期时间，在赌城拉斯维加斯近乎疯狂地玩起了“21 点”，运用概率知识应对“21点”游戏中可能出现的各种局面，确保高频率的取胜纪录，最终狂赢数百万美元。这时对他们的“连战连胜”大起疑心的赌场调查人员盯上了他们，并展开了全面调查追踪……

《决胜21点》的原型是美籍华人马恺文（Jeff Ma），毕业于麻省理工学院。1994 年，正在麻省理工读大三的他加入了“麻省理工21点小组”，三人每逢周末便携带10 万美元到拉斯维加斯和大西洋城的赌场玩“21点”，靠着超强的算牌能力，他们经常满载而归。据马恺文介绍：“算牌只能提高3%的赢牌几率。虽然这是很简单的算牌技术，却足以造成很大的差别。” 马恺文和同伴通过算牌狂捞了近千万美元。之后各家大赌场纷纷通过监视画面将这些算牌的人放进了不受欢迎的黑名单，马恺文等算牌高手只能金盆洗手了。

最后小结

游戏节目的统计数据显示，那些改选的参赛选手赢的几率是那些没有改选的人的两倍，这证实了莎凡特在其第三篇专栏中的解释：“当你从三扇门中选了门1 后，这扇门后面有奖的几率是1/3，另两扇门是2/3。但接下来主持人给了你一个线索。如果奖品在门2 后，主持人将会打开门3 ；如果奖品在门3 后，他会打开门2。所以如果你改选的话，只要奖品在门2 或门3 后你就会赢，两种情况你都会赢！但是如果你不改选，只有当奖品在门1 后你才会赢。"

因为主持人清楚地知道哪扇门后是羊，所以答案是换门会增加赢车的机会：不换门的话，赢得汽车的几率是1/3 ；换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

三门问题的关键在于主持人，因为他总会挑一扇后面没有汽车的门。

注释

1 http://marilynvossavant.com/game-show-problem

2 根据维基百科，以上叙述是对萨尔文（Steve Selvin）于1975 年2 月寄给 《美国统计学家》（American Statistician） 杂志文章的改编版本。 萨尔文在随后寄给 《美国统计学家》 的信件中(1975 年8 月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。一个实质上完全相同的问题于1959 年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁• 加德纳（Martin Gardner）的《数学游戏》专栏中。加德纳版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。这条问题的首次出现，更早可能是在1889 年约瑟夫• 伯特兰（Joseph Bertrand, 1822-1900）所著的《计算概率》（Calcul des Probabilités）一书中。 在这本书中，这条问题被称为“伯特兰箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。

3 http://www.businessinsider.com/the-most-controversial-math-problems-2013-3

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