求小数的近似数用的方法是什么（用连分数表示无理数）

提要：无理数可以用连分数表示，但书写形式很繁复，本文在传统求法的基础上，给出一种程序化求法、书写的简化形式和用渐近分数表达无理数。

拉马努金恒等式实际揭示了，有理数可以用无理数表示，反过来，无理数可以用有理数来表示吗？历史上，有很多数学家，象欧拉，高斯等人对此有过深入研究，都给出肯定的回答，无理数可以用连分数来表示。

01--√5的连分数表示

以√5为例，√5的整部(整数部分)是2，分部(小数部分)是√5-2，

√5=整部 分部

=2 (√5-2)

整部=2，分部=√5-2

其分部√5-2的倒数：

1/(√5-2)=√5 2

=整部 分部

=4 (√5-2)

整部=4，分部=√5-2

此时√5 2的分部=√5的分部，第一次出现循环，整部、分部分离过程结束。

这个过程在《几何画板》中，用去尾函数trunc(x)来分离无理数的整部和分部很方便，下图就是这个分离过程的截图。

把上述过程形式化得

即√5可以用下图中的连分数来表示：

√5用连分式来表示形式漂亮，但也有缺憾，占用篇幅大，书写较繁琐，因而常用中括号简记为√5=[2,4,4,4...]=[2,4]，其中4表示以4为循环节。

02--√7的连分数表示

再以√7为例，√7的整部(整数部分)是2，分部(小数部分)是√7-2，

√7=整部 分部

=2 (√7-2)

整部=2，分部=√7-2

分部(√7-2)的倒数：

1/(√7-2)=(√7 2)/3

=整部 分部

=1 (√7-1)/3

整部=1，分部=(√7-1)/3

其分部(√7-1)/3的倒数：

3/(√7-1)=(√7 1)/2

=整部 分部

=1 (√7-1)/2

整部=1，分部=(√7-1)/2

其分部(√7-1)/2的倒数：

2/(√7-1)=(√7 1)/3

=整部 分部

=1 (√7-2)/3

整部=1，分部=(√7-2)/3

分部=(√7-2)/3的倒数：

3/(√7-2)=√7 2=4 √7-2

=整部 分部

=4 (√7-2)

此时3/(√7-2)的分部=√7的分部，第一次出现循环，整部、分部分离过程结束。

把上述过程形式化得

即√7可以用下图中的连分数来表示：

简记为√7=[2,1,1,1,4,1,1,1,4...]=[2,1,1,1,4]，其中1,1,1,4表示以1,1,1,4为循环节。

03--无理数√n化连分数的步骤

以√n为例

• 将√n分离为整部z1和分部f1
• 求分部f1的倒数d1
• 将d1分离为整部z2和分部f2
• 求分部f2的倒数d2
• 将d2分离为整部z3和分部f3
• 重复上述过程，直到分部fn第一次和前面某分部fk相同（fn=fk）为止，结束过程分离。
• √n=[z1，z2，。。。zi，。。。，zn]

按上述操作，将√13化为连分数

1. 分离√13=3 (√13-3)，得z1=3,f1=√13-3；
2. d1=1/(√13-3)=(√13 3)/4;
3. 分离d1,得z2=1,f2=(√13-1)/4；
4. d2=4/(√13-1)=(√13 1)/3;
5. 分离d2,得z3=1,f3=(√13-2)/3；
6. d3=3/(√13-2)=(√13 2)/3;
7. 分离d3，得z4=1，f4=(√13-1)/3；
8. d4=3/(√13-1)=(√13 1)/4;
9. 分离d4，得z5=1，f5=(√13-3)/4；
10. d5=4/(√13-3)=√13 3=6 (√13-3);
11. 分离d5，得z6=6，f6=√13-3
12. 分部第一次出现重复f1=f6，分离过程结束。
13. √13=[3,1,1,1,1,6]

用《几何画板》验证：

即

按上述操作，将√101化为连分数

1. 分离√101=10 (√101-10)，得实部10,分部(√101-10)；
2. 分部的倒数1/(√101-10)=√101 10;
3. 分离√101 10,得实部20,分部√101-10；
4. 分部第一次出现重复，分离过程结束。
5. √101=[10,20]

即

04--无理数的渐近分数

渐进分数表示了向无理数逐渐逼近无理数的趋势，所以渐近分数可以用来表示无理数的近似值。

如√3=[1,1,2]的前五个渐近分数：

A1=[1]=1,

A2=[1,1]=2,

A3=[1,1,2]=1 2/3≈1.667,

A4=[1,1,2,1]=1 3/4≈1.75,

A5=[1,1,2,1,2]=1 8/11≈1.73。

再如√101=[10,20]的前三个渐近分数：

A1=[10]=10,

A2=[10,20]=10 1/20=10.05,

A3=[10,20,20]=10 20/401≈10.04988。

1761年，德国数学家兰伯特证明了圆周率pi是无理数，因而pi也可以用连分数来表示（计算过程太复杂，略）

pi=[3,7,15,1,292,1,1...]

pi的前四个渐近分数：

A1=3,

A2=22/7,

A3=333/106,

A4=355/113。

其中，A2,A3恰好分别是祖冲之计算出的“约率”和“密律”。

05--结语

拉马努金恒等式，揭示了用无理数表示有理数，用连分数表示无理数，说明无理数也可以用有理数来表示。因而有理数和无理数的种关系是辩证的统一，是符合辩证法的。

用连分数表示无理数的主要步骤：分离，求倒数。

无理数的渐近分数可以用来表示无理数的近似值，这也算用连分数表示无理数的用途之一吧。

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