全国三卷数学椭圆20题(一道2022年数学高考一卷题-有关三角运算)

一道2022年数学高考一卷题-有关三角运算

题目:记三角形ABC的内角为A, B, C,其所对应的边长为a, b, c, 已知

cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)

若C=2π/3, 求∠B的大小。

全国三卷数学椭圆20题(一道2022年数学高考一卷题-有关三角运算)(1)

这是今年的六月7号刚考完的高考数学1卷的第18题的第一部分,第二部分跟边长有关,限于篇幅,将会在另外的文章中讨论。这里重点求解第一部分。总的感觉今年的高考数学题非常难,即便是学霸也会感到棘手。

解:这道题的一个解题思路是利用三角学中的正切的半角公式, 即:

全国三卷数学椭圆20题(一道2022年数学高考一卷题-有关三角运算)(2)

题中所给的等式cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)的右侧显然符合这个恒等式的形式, 但左侧不符合,因此需要做一个恒等变换,使其符合正切的半角公式。

因为cosA=sin(π/2-A)

且 1 sinA=1 cos(π/2-A)

所以

cosA/(1 sinA)

=sin(π/2-A)/(1 cos(π/2-A))

=tan(π/4-A/2)

已知的等式右侧

sin2B/(1 cos2B)

=tanB

因此

tan(π/4-A/2)=tanB

由于π/4-A/2>0, 所以A<π/2, 同时对应正切函数tanx, 其最小正周期为π

假如π/4-A/2 π=B, 则π π/4=B A/2<π π/4, 这是矛盾的,所以只有:

π/4-A/2=B

另外已知C=2π/3, 根据A B C=π,

即 A B=π/3

结合A/2 B=π/4

解出B=π/6

,

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