全国三卷数学椭圆20题（一道2022年数学高考一卷题-有关三角运算）

一道2022年数学高考一卷题-有关三角运算

题目：记三角形ABC的内角为A， B， C,其所对应的边长为a, b, c, 已知

cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)

若C=2π/3, 求∠B的大小。

这是今年的六月7号刚考完的高考数学1卷的第18题的第一部分，第二部分跟边长有关，限于篇幅，将会在另外的文章中讨论。这里重点求解第一部分。总的感觉今年的高考数学题非常难，即便是学霸也会感到棘手。

解：这道题的一个解题思路是利用三角学中的正切的半角公式， 即：

题中所给的等式cosA/(1 sinA)=sin2B/(1 cos2B)的右侧显然符合这个恒等式的形式， 但左侧不符合，因此需要做一个恒等变换，使其符合正切的半角公式。

因为cosA=sin(π/2-A)

且 1 sinA=1 cos(π/2-A)

所以

cosA/(1 sinA)

=sin(π/2-A)/(1 cos(π/2-A))

=tan(π/4-A/2)

已知的等式右侧

sin2B/(1 cos2B)

=tanB

因此

tan(π/4-A/2)=tanB

由于π/4-A/2>0, 所以A<π/2, 同时对应正切函数tanx， 其最小正周期为π

假如π/4-A/2 π=B， 则π π/4=B A/2<π π/4, 这是矛盾的，所以只有：

π/4-A/2=B

另外已知C=2π/3, 根据A B C=π，

即 A B=π/3

结合A/2 B=π/4

解出B=π/6