有多少三位数能被7整除（7位数1993xxx能同时被234）

一道1993年奥数竞赛原题：

某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数是_________。

本讲黄老师讲两种解法，一种是利用公倍数的知识，另一种是利用数的整除知识。

解法一：

先求出2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数，即2520，

思路1：令这个7位数后三位先为0，得到这个7位数为1993000，则：

1993000÷2520=790……2200，

再考虑到：2520-2200=320，

所以在1993000的基础上加上320，得到的新数就可以被2520整除。

所以这个七位数=1993000 320=1993320，所以这个七位数的后三位数字是320．

故答案为：320

思路2：

令这个7位数后三位先为999，得到这个7位数为1993999，则：

1993999÷2520=791……679，

所以，1993999减去余数679，得到的数即可整除2520，

所以这个七位数=1993999 679=1993320，所以这个七位数的后三位数字是320．

故答案为：320

上面两种思路均利用最小公倍数的知识，求出最小公倍数为2520>1000，所以在后三位不确定的情况下，也只有一种符合条件的结果，如果求出的最小公倍数小于1000，则有可能出现多种结果。

解法二：

利用数的整除的性质：

1. 能被2整除，要求尾数为偶数，同时又能被5整除，所以要求尾数是0或5，同时满足此条件，尾数一定是0

2. 能被9整除的一定能被3整除，同样，能被8整除的一定能被4整除。这样，我们考虑这个7位数同时满足被8和9整除。

令这个7位数为1993ab0，

被9整除，要求各个数位数字和能被9整除，则：(1 9 9 3 a b 0) | 9，即(22 a b) | 9，推出a b=5或a b=14；

被8整除，要求后三位能被8整除，即：(100a 10b 0) | 8

当a b=5时，有如下可能：

a=1，b=4；此时，100a 10b 0=140，不是8的倍数，舍去；

a=2，b=3；此时，100a 10b 0=230，不是8的倍数，舍去；

a=3，b=2；此时，100a 10b 0=320，可以整除8，保留；

a=4，b=1；此时，100a 10b 0=410，不是8的倍数，舍去。

当a b=14时，有如下可能：

a=5，b=9；此时，100a 10b 0=590，不是8的倍数，舍去；

a=6，b=8；此时，100a 10b 0=680，可以整除8，保留；

a=7，b=7；此时，100a 10b 0=770，不是8的倍数，舍去；

a=8，b=6；此时，100a 10b 0=860，不是8的倍数，舍去；

a=8，b=5；此时，100a 10b 0=950，不是8的倍数，舍去.

所以，这个7位数满足同时整除2、3、4、5、8、9时，后三位只可能是320或680；

再考虑整除6，能整除3并且为偶数，就一定能整除6，所以上述两个数都满足整除6；

那么，只剩下一下条件，需要整除7：

整除7，可以采用去位相减法，即：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7整除。这个数就能被7整除；具体详见黄老师以前课程：能被1-12整除的数的特性！掌握了提高做题速度75%及准确率60%！

1993320：1993-320=1673，1673÷7=239，可以整除，所以1993320是7的倍数，所以1993320为正确答案之一；

1993680：1993-680=1313，1313÷7=187……4，不能整除，所以此答案舍去。

综上，确定最终答案为1993320，后三位为320.

此方法利用数的整除知识，因涉及到整除7，所以稍显麻烦。

此题可以换种问法：比如说一个人的家庭电话是一个七位数或八位数，然后告诉你前四位或五位，同时满足电话号码可以被2、3、4、5、6、7、8、9整除，让你求后三位等等