为什么有n+1阶导数 为什么xn

使用二项式展开的简单推导

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任何在高中或大学学过微积分的人都知道著名的微分公式

但为什么是这样呢？大多数课程都掩盖了这一点，只是希望您认为这是理所当然的。但当你看到本文的时候就不再是了，在这里我将向您确切说明为什么这个公式是正确的，以及我们如何从第一性原理推导出它。

回想一下，导数的定义是以下限制：

其中 Δx 是有限步长。那么，我们应该能够利用这个极限推导出微分的幂公式。在我们的例子中，这被写成

第一项是二项式，因此这表明我们可以使用二项式公式：

其中二项式系数用阶乘表示为：

为了扩展表达并获得简化事物的东西。在我们的例子中，这种扩展产生：

因此

请注意，这里我们假设 n 是一个正整数。如果 n 是负整数会怎样？可以实施类似的程序：我们首先扩展术语

从中我们得到：

这本质上是相同的公式，但写法略有不同。但是如果 n 不是整数而是实数呢？该公式仍然有效，原因是对于正实数 r 我们可以将二项式公式扩展为（牛顿概括）：

现在每个二项式系数被评估为

其中 (r)_n 表示下降阶乘：

所以，我们写

因此：

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