高中物理天体运动公式推导（从最著名的物理公式谈起）

我把上面这张图片称为《我想聊的物理》，它有三个起点：

• 运动世界
• 静力世界
• 光世界

作为《运动世界》的第一篇文章，我决定从最著名的物理公式谈起。那么，什么是最著名的物理公式？

我认为是：

这个公式可能不是很高大上，但绝对称得上“著名”二字，甚至可以说是家喻户晓，小学生应该也知道这个公式（声明一下，我没有任何鄙视小学生的意思）。

• 一些读者可能会觉得这个公式太简单，没什么可谈的。
• 另一些读者可能会挑毛病，觉得这个公式里面不应该出现“路程”，而应该用“位移”。

没办法，毕竟这是《运动世界》的第一篇文章，同时也是《我想聊的物理》的第一篇正文，我不可能一开始就谈复杂的东西。

另外，“位移”是一个复杂的概念，理解“位移”对数学水平的要求有些高，在补足数学基础之后我们再谈论“位移”，目前暂时使用“路程”这个简单的概念。

速度等于路程除以时间，面对这个公式，我的看法是：简约而不简单。

我没有任何开玩笑的意思，这里面的物理太多了。对一些人来说，只是常识，不过我要照顾初学者，必须把物理学的常识说清楚。

为了不浪费一部分读者的时间，我在此列出下文的主要内容，如果你认为自己知道这些常识，那就没必要往下看了。

物理量、基本单位、导出单位、量纲、量纲平衡、斜率、面积、相轨迹。

尴尬的往事

在我还是一个小学生的时候，碰到过一道让我头疼的题：

一辆车的速度是30，一条路的长度是600，请问这辆车要用多长时间才能走完这条路？

我知道，一些读者会觉得不对劲，怎么没有单位？速度没单位，长度也没单位，这题是来搞笑的？

其实，我当初碰到的那道题应该是有单位的。不过，当时的我只是一个不学无术的小学生，根本就不知道单位有啥用，直接无视了单位。

在这里，我专门不写单位，就是想让大家明白我当时的感受。顺便用一种另类的方式提醒大家，单位很重要。

现在该谈点正事了，到底是什么让当初的我头疼？

当时，我的脑子里一直在想：

• 速度是啥？
• 速度是怎么和一个数字扯上关系的？

没错，当时的我不知道：

现在看来，这实在有点尴尬。不过，还有更尴尬的后续情节。

没过多久，不知是老师还是同学告诉我：“速度等于路程除以时间”。我立刻反应过来，这道题不就是在考除法吗？

600÷30=20

没错，当时的我依然不在乎单位。

做了除法之后，我开始怀疑速度，为什么速度等于路程除以时间？

当时的我想到了这些事情：

• 经过相同时间，谁走得远，谁快。
• 走相同路程，谁用的时间短，谁快。

这么看来，“速度等于路程除以时间”还挺有道理，确实可以用这样定义的速度来比较谁快谁慢。然后，我就想到一件非常尴尬的事：为什么不让“速度等于路程减时间”？

这样不也能表示快慢吗？

虽然可能没有“速度等于路程除以时间”方便，但应该也能用吧？

这绝对是一个反面教材，太乱来了，随后再说这种想法到底有多大的问题，现在先把我当初的想法全说完。

“速度等于路程减时间”只是我当初想到的一个想法，我紧接着又想到：为什么不让“速度等于路程的平方除以时间”？这样不也能表示快慢吗？

我似乎可以用非常多的方法定义“速度”：

相比于“速度等于路程减时间”，这些想法要正常得多，计算起来可能很麻烦，但好在没有“硬伤”。

那么为什么人们提到速度，都默认“速度等于路程除以时间”？有什么深层的原因吗？

这基本上就是完整的故事，后来那些想法就不了了之了。回过头来看这个故事，我才发现这简直就是绝佳的反面教材。

“加减乘除”需谨慎

我曾经想到的“速度等于路程减时间”为什么是乱来？

其实我当初会那样想，完全是因为无视了单位，只看到数字，以为路程和时间就像纯粹数字一样，可以随便加减乘除。

这正是物理公式区别于数学公式的地方，“乘除”没什么限制，“加减”就要小心了。

100米 200米=300米

这可以找到具体的意义，有两条路，一条100米，一条200米，总共长300米。

100米-3秒=？

这究竟在表示什么？

归根结底是物理意义的问题，物理公式中的每一次运算都要有物理意义，最基本的物理意义就是量纲平衡。

量纲平衡其实就是说：量纲相同的物理量才能相加或相减。

在这里一次提到了两个概念：

• 物理量
• 量纲

物理量可能经常会让初学者感到陌生，其实不用管“物理量”的精确定义，我们只需要知道：长度、面积、体积、时间、温度、……这些带单位的量都是物理量。

量纲可能是个很吓人的名字，其实不用管“量纲”的精确定义，我们目前只需要知道：相同的物理量有相同的量纲。

上文提到过这样一个反面教材：

100米-3秒=？

表面上看，这是在把单位不同的物理量相减，其实这是在把量纲不同的物理量相减。

量纲和单位确实有些像，但终究不是一回事。比如长度，有各种各样的长度单位：厘米、米、公里、海里、英里、……，不管用哪种单位，只要是表示长度的物理量，量纲就相同，就可以相加或相减。

其实不同单位之间的换算公式就已经体现了“量纲相同，单位不同”。

1000米=1千米

可能有一些读者会问：

你怎么就这么肯定，路程和时间的量纲不同？

有什么证据吗？

这其实是一件不言而喻的事，说白了就是默认的公理。这种说法可能不会让一些读者满意，但这就是最终解释，想了解详细内容可以看我之前写的文章《我想聊的物理2：描述一下它》，在这里就不多说了。

现在，提及量纲，只需要知道：

• 相同的物理量有相同的量纲。
• 量纲相同的物理量才能相加或相减。

如何构建新的物理量？

上文提到量纲，只是说了“加减”的问题，其实量纲也和“乘除”有关。

这是非常简单的关系，还是可以先看这个公式：

速度的量纲和路程、时间都不同，只考虑量纲平衡就能发现这一点。“路程除以时间”的量纲才和速度的量纲相同，单独的路程或时间都和速度的量纲不同。也就是说，“乘除”可以改变量纲。

上文提到过：相同的物理量有相同的量纲。也就是说，速度是一个新的物理量，是由路程和时间这两个基本物理量构建的导出量。

物理量可以分成：

• 基本量
• 导出量

基本物理量，这个名字听起来可能也有些吓人，至于哪些物理量是基本物理量？

这其实完全是人为规定的概念，一些读者可能会对“人为规定”感到恶心，觉得在物理学中出现“人为规定”就是对自然规律的亵渎。其实“人为规定”不可避免，详情见《我想聊的物理2：描述一下它》，在这里就不多说了。

在《运动世界》这个系列，我们只需要2个基本物理量：

• 长度/路程/距离
• 时间

我相信每位读者都对这2个基本物理量有直观的了解，目前有直观的了解就够用了，在这里就不多做介绍了。

每次构建新的物理量，都要用类似于“乘除”的方法，这没得选。基本的运算就是“加减乘除”，相同的物理量才能“加减”，想要构造新的物理量就要构造新的量纲，只能用“乘除”。

如果要定义速度来表示物体运动的快慢，也只能用“乘除”。

这还没完，每一个物理量都要有单位，好在这并不难。物理量之间是怎么运算的，单位之间也怎么运算。其实我们都很熟悉这个过程，速度的单位就是绝佳的例子，如果路程的单位是【米】，时间的单位是【秒】，那么速度的单位就是【米/秒】。

就像物理量可以分为基本量和导出量一样，单位也可以分类：

• 基本单位，基本量的单位。
• 导出单位，导出量的单位。

说到这里就不得不提一下我曾经想到的那些“速度”：

现在，知道了量纲平衡，也知道了构造物理量的方法，回头再看这些“速度”。其实它们完全符合上文提到的要求。

那么，为什么没人把它们定义成标准的速度？

不简洁。

物理学终究是人类发明的一门工具。物理规律确实是自然界的法则，不因人的意志而改变，但是人类对物理规律的认知终究要受到人类思维的限制。简洁，是人类对一门工具的要求，物理学中的“人为规定”必然要简洁。

在《运动世界》，我并不会谈到具体的物理规律，只是在介绍人类为了理解物理规律而发明的工具，也就是描述运动的工具。

这是物理量，不是字母

上文中，我一直在用这种方式表达物理公式：

而不是用字母表示物理量：

我这么做，其实是想表达我个人认为非常重要的观念：这是物理量，不是字母。

还是看这个公式：

你会怎么读？

• 速度等于路程除以时间
• v等于s除以t

这倒没什么强制要求，只是想让各位读者思考一下这两种读法对于思考方式的区别。

数形结合

看到这里，很多读者可能已经不耐烦了，什么叫速度等于路程除以时间？

明明是位移除以时间！

我暂且不区分位移和路程，一个原因是位移太复杂，另一个原因是：我暂且只考虑最简单的情景，物体只在一条直线上运动，而且速度不变。此时的位移和路程可以不做区分。

其实每当我们提到“速度等于路程除以时间”，都默认是这种最简单的运动。

现在开始使用位移这个词，不过暂且不用考虑位移和路程的区别，再看这个公式：

一旦有公式，就用到了数学，数学中有一种非常好的方法叫“数形结合”，用图像看待这个公式，会有更多收获。

记住这个情景：物体只在一条直线上运动，而且速度不变

速度、位移、时间，任取2个物理量组成图像，有3种结果：

• 位移-时间图
• 速度-时间图
• 速度-位移图

首先看一看“位移-时间图”：

物体的运动可以用上图中的红线表示，随着时间变化，物体走过的位移均匀增加。可以形成直角三角形，直角三角形的两条直角边的长度分别表示位移和时间，竖着的直角边长度除以横着的直角边长度，就是红线的斜率，和速度相同。

再看一看“速度-时间图”：

物体的运动可以用上图中的红线表示，物体的速度不随时间变化。可以形成长方形，长方形的长和宽的长度分别表示时间和速度，长方形的面积和位移相同。

一起考虑“位移-时间图”和“速度-时间图”，会发现有趣的现象：

• 速度是“位移-时间图”的斜率。
• 位移是“速度-时间图”的面积。

这会引申出很多精彩内容，在《运动时间》这个系列就会呈现出来，一些读者可能已经看出精彩内容是什么了，不过我要就此打住，把精彩内容放到下一篇文章。

再看一看“速度-位移图”：

物体的运动可以用上图中的红线表示，这条红线也被称为相轨迹。

现在离它大放光彩的时候还很远，在《变分世界》《热世界》《量子化》才能看到它真正的威力。在此，我只是希望各位读者能对相轨迹有个印象。

下期预告

当速度开始变化，微积分就要出场了。

这个进度一点都不快，微积分的思想非常简单，是物理学的入门级工具，本来就没什么难度。不要听某些人说微积分很难，真正难的是考试，不是微积分本身。

另外，位移也该正式出场了，懂得了微积分的基本思想，才能真正理解位移。

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