一元一次方程什么情况下无解（一元二次方程是毫无用处吗）

原文:plus.maths/content/os/issue29/features/quadratic

译者:烟波蓝 翻译小组成员

校对:Panlan 翻译小组组长

通常来说，一个数学公式极少会同时引起国内各路媒体的关注，更难成为英国议会讨论的焦点。但是在2003年，我们在中学时期就学过的、非常经典的二次方程却是一个例外。

Where we begin（所有争议的起点）

在一次全国教师联合会议上，二次方程成为了众矢之的，它被批判为数学家强行施加给无辜的、毫无戒备的学生们的“酷刑”中的典型案例之一。这个新奇有趣的指控促使二次方程成为了当时黄金时段的电台节目的讨论主角，在那里它被一个更习惯于对付首相的咄咄逼人的采访者质疑。泰晤士报特意在头条位置（通常刊登重量级问题如对社会道德或者现代世界的健康的讨论）指出，一元二次方程是毫无用处的、数学是无用的，并且没有人想学习数学，不必浪费时间。为避免有关一元二次方程的不利看法在民众心里一直占据上风，二次方程对英国生存的重要性在英国下议院被提出并讨论（值得高兴的是，较为正面的观点被提出）。

局面将会走向何处？二次方程真的要被封杀了吗？有人在意吗？数学家真的是用二次方程折磨年轻的一代以腐蚀他们不朽灵魂的邪恶怪物吗？

也许是这样，但这并不是二次方程的错。事实上, 二次方程不仅在我们所知的人类文明的整体中发挥了关键的作用, 而且在可能探测到其他外星人的文明, 甚至像看卫星电视这样重要的现代活动中都扮演着举足轻重的作用。此外，除了圣经，还有什么能够被认为对生命有着如此重大的影响呢？事实上, 毫无疑问， 二次方程式在真正意义上可以拯救你的生命。

巴比伦人(The Babylonians)

巴比伦人记录9倍乘法表的楔形文字板的正面和背面

这一切都始于大约公元前三千年的巴比伦人。他们是世界上最早的文明之一，在很多领域，如农业、灌溉和写作上取得了伟大成果。他们绘制出了太阳、月亮和行星运行的轨迹图，并将它们记录在粘土片上（你仍然可以在大英博物馆里看到）。巴比伦人赋予我们现代文明里很重要的角度的概念。由于计算上的小错误，他们把一个圆周划分成 360 份，每一份代表一年中的一天。同时，他们也有（不那么令人愉快的）收税制度，这也是巴比伦人需要解决一元二次方程的重要原因之一。

让我们来假设你是一个巴比伦农民，在你农场的某个地方有一块正方形田地，你可以在此种庄稼。那么，你可以种多少庄稼呢？如果你将土地的边长增大一倍，你会发现可种的庄稼量变为原来的四倍，其原因是，你可种植的庄稼量和你的土地面积是成比例的，也就是和边长的平方成比例。用数学语言来说，假设 x 为土地的边长，m 是你可以在这一块正方形土地上单位面积可以种植的庄稼量，c 是你总共可种植的庄稼量，那么

c = mx²

这就是我们的第一个二次方程，朴素简单，却又熠熠生辉。二次方程和面积像家族中的兄弟姐妹一样紧紧联系在一起。但是，此时我们并不需要解决任何问题——直到收税人到来。纳税人来啦！他兴致勃勃地对农民说：“我希望你给我收货 c 量的庄稼以便来缴纳你农场的税收。”农民现在就陷在困境里了：他需要多大的土地来种植对应数量的庄稼呢？事实上，我们可以很容易就解出答案:

用计算器找出平方根对于我们来说是轻而易举的，但是对巴比伦人来说却是个大问题。不过他们发明了一种逐次逼近法来得到近似值，该方法与现代计算机用来解决比二次方程更难的问题的算法（称为牛顿-拉夫逊方法，Newton-Raphson method）相同。

现在，我们延伸到更一般情况，不是所有的土地都是正方形的。假设这个农民有一块形状更复杂的、由两个三角形组成的土地（如上图所示）。

对特定的 a 与 b，农民在这块地上可以种的庄稼量为

这和我们平时常见的等式相差无几了，但对这些贪婪的税务官来说也不是那么容易解出来了。然而，巴比伦人又神通广大地解出来了！首先我们在等式左右同时除以 a 并整理得到

然后，用配方法化成左侧为完全平方形式：

与上式结合，得到

现在这个等式就可以通过求平方根解决了。答案就是著名的求根公式：

整理之后即是：

这个公式更常见的是-4ac而不是4ac，因为一元二次方程通常为下面形式：

众所周知，求平方根运算可以得到一个正数和一个负数，这也使得一元二次方程有两个解。想想有多少数学问题只有唯一解，你就会觉得一元二次方程有多神奇了！

我们现在得到的结论通常都是一元二次方程在实际教学中的全部了，这也是记者们采访数学家时都关注的话题。仅仅从 a，b 和 c 的赋值就得到两个答案这一点就可以提出无数个题，但这并不是数学所关心的话题。得到一个公式仅仅只是漫漫长路中的第一步。我们不由得提问，这个公式意味着什么；它可以带我们探索宇宙中的哪些奥妙；得到一个公式真的很重要吗？现在让我们来看看这个公式将会带给我们什么。

令希腊人震惊的一个发现和数学折纸游戏带来的重要比例

现在让我们穿越回到一千多年前的古希腊，看看他们对一元二次方程所做的研究。古希腊人是杰出的数学家，他们做出了很多我们现在都还在运用的数学结论。他们感兴趣解决的方程之一就是(简单的)一元二次方程

他们知道这个方程有解，即是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形的斜边长。

这来源于毕达哥拉斯的定理：如果一个直角三角形的两个直角边分别为 a、b，则斜边 c 的长度为

令 a=b=1，且 x=c，则

因此，

那么，在这个例子里 x 是什么？或者，那个古希腊人曾问过的问题——x 是个怎样的数？古希腊人为什么对这个问题这么重视呢？原因在于他们惯有的对比例的敏感性。他们认为所有的数都互相成比例。确切来说，这意味着所有的数都是形式

的分数（a、b均为整数），比如 1/2, 3/4 和 355/113。于是自然而然地，他们认为 √2

也是一个分数。然而，令他们十分震惊的是，事实并不是这样。事实上，

这里的“…” 意味着 √2 的小数部分无规律地扩展到无限（我们在之后对无序性的研究中会再次遇到这种情况）

√2 是第一个被确认为的无理数(irrational number，也就是说，它不是分数或有理数)，其他的无理数例如 √3，π，e，和我们熟知的大部分数。直到十九世纪，我们才找到比较系统的方法来研究这一类数字。

√2 不是有理数这一发现同时引起了巨大兴奋（一百只公牛因此被宰以庆祝这一成就）和巨大恐慌，导致其发现者不得不自杀（这是对数学狂热份子的一个可怕警告）。此时，希腊人放弃了代数，转而投向了几何学。

√2 完完全全不是一个晦涩难懂的数字，相反，生活中 √2 的应用极其普遍，比如 A4 纸的长宽比。在欧洲，纸张均是用 A系列的标准制作的，A0是面积最大的，有 1m²。A系列的纸张尺寸之间有很紧密的联系。我们将一张 A1 纸沿着它较长的那条边对折，就可以得到 A2 纸，再次对折，就可以得到 A3 纸，再次对折，就是 A4纸。A系列的纸都被设计成长宽比相同的纸，也就是说，每一种尺寸的纸张都有相同的形状。

现在我们可以研究这个长宽比到底是多少。假设一张纸长 x、宽 y，现在将它均分为两张长为 y、宽为 x/2 的纸（如图）。

第一张的长宽比为 x/y，第二张颜色较深是 y/(x/2), 或 2y/x ，使两者相等，我们得到

即是

这便是又一个二次方程！幸运的是，它可以转化为我们已经研究过的情况，我们可以解得

这个结果可以很容易得到验证。只需拿一张A4纸（A3或者A5纸亦可），测量它的长度与宽度。我们还可以算出每张纸的面积。

A0纸张的面积A可由下面公式得出：

我们已知

所以我们立即可以得到这个二次方程(其中x是A0纸的长边)：

因此我们可以得到，A2纸的长边为

(请读者自行思考原因)，A4纸的长边为

读者可以在纸张上自行验证这个结果。

美国的纸张制作使用的是另一种长宽比不同的标准，叫做“foolscap（大裁）”。为了探究这种做法的原因，我们需要重新回到古希腊去解决另一个二次方程。一元二次方程在带来了困惑、数学危机之后，终于为自己赎罪，展现了其在实际生活中的用途——黄金比例。这个成果一直到现在比如电影布景里都有很好的应用，同时也在大自然中有很多神奇的例子。

让我们从矩形开始，裁去一个以矩形宽度为边长的正方形。假设矩形的长为 1、宽为 x，那么正方形的边长为 x。将这个正方形裁去之后，我们得到一个较小的矩形，其长为 x、宽为 1-x，到目前为止，一切都显得很抽象。但是古希腊人并不这样想。他们认为，长宽比最具美感的矩形（即所谓的黄金矩形）应该是大、小矩形的构成比例相同的矩形。为了使这个假设成立，我们得到这样一个等式：

这又是另一个一元二次方程：一个有着极广泛应用的等式，它的正数解为：

x 的这个值被称为黄金比例，通常用希腊字母φ 表示

黄金矩形在被应用于窗户的制作上，特别是格鲁吉亚人的房屋。现代的摄影和电影图像中所追求的“完美形态”也应用了黄金比例的原理。

这个等式也在研究兔子种群数量的实验、向日葵花籽和植物茎干上叶子的排列规律的实验中出现。它们都是通过斐波纳契数列同黄金比例联系起来的，斐波纳契数列如下：

体现了黄金比例的帕台农神庙与向日葵花籽的排列遵循斐波纳契数列的规律

在斐波纳契数列中，每一个数（从第三个数开始）都是前两个数字的和。在15世纪，斐波纳契在试图预测未来兔子种群数量的时候发现了这个数列。如果你算出每个数字与其后数字的比，你就会得到这样一个数列：

如你所料,这些数将越来越接近黄金比例 φ。

在寻找上面二次方程的两个解的过程中，我们实际上也可以找到斐波纳契数列的通项。如果 Fn 代表数列中的第 n 个数，F0=1，F1=1，那么 Fn 可以由以下通项得到

二次方程在圆锥曲线中的应用：天文

古希腊人同时也对圆锥体感兴趣，上图就是一个典型的圆锥体。

这个圆锥体的一半可以看做手电筒的光线播。当手电筒照到一个平面（比如墙壁），那么在移动手电筒时你会看到不同的投影。这些投影的边界叫做圆锥曲线。如果我们沿着不同的角度将圆锥体切割，也同样可以得到这样的曲线。古希腊人研究了这些曲线，然后意识到它们可以被分为四类。如果你水平切割，则可以得到一个圆；在水平线的基础上稍微倾斜一下角度，则可以得到椭圆；沿着平行圆锥的母线切割，得到抛物线；如果采用垂直截面，则会得到双曲线。（如图）

圆锥的横截面可以是圆形；一个椭圆；一条抛物线；或一条双曲线

圆锥曲线之所以作为我们故事的例子，是因为这四种曲线都可以由二次方程表示。假如（x，y）表示平面上的一个点，用二次方程表示x与y之间的关系，我们可以得到：

圆：

椭圆：

双曲线：

抛物线：

这些曲线自从古希腊就十分闻名并被广泛研，但是似乎除了圆以外，其余的曲线并没有实际应用。然而，在16世纪，圆锥曲线却改变了世界！正如我们将在Plus杂志下一期中所看到的，二次方程和圆锥曲线之间的联系帮助我们认识了宇宙运作的方式。（未完待续）

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