数学史上的四次危机（盘点人类数学史上三次危机）

几乎从一出生开始，我们就开始接触数学，甚至比接触语文还要早。到了牙牙学语的时候，爸妈主动教我们认数字，然后是简单的加减法。到了学龄阶段，数学也是与语文同等重要的学科。

古代人类对数学也非常痴迷，热衷于研究数学。古代人类一直相信整数看起来如此优美，肯定可以代表宇宙中的所有事物。

但是，随着一次意外地发现，完全颠覆了古人类对数学的认知。

在研究等腰直角三角形时，人们发现，如果三角形的直角边是1，那么斜边长就是根号2。但是当人们想知道根号2到底是一个什么数时，就开始“恐惧”起来。

人们发现，不管如何计算，根号2好像永远算不到尽头一样，人们第一次认识到了无理数的存在。无理数的发现也彻底打破了人们对自然界中整数的优美认知。

但人们不可能对无理数视而不见，而是开始摆脱对整数的追求，进而研究无理数。无理数的存在也让人们第一次开始思考有关无穷的概念。

最典型的就是“在“芝诺悖论”，具体是这样的。

你和一只乌龟赛跑，你的速度是乌龟的10倍，但乌龟的起点在你前方100米。当你跑100米来到乌龟起点的时候，乌龟跑了10米。当你跑10米时，乌龟跑了1米。当你跑1米的时候，乌龟跑0.1米......

能够看出，你跑的距离永远是乌龟之前跑的距离，也就是说，你永远追不上乌龟。

但现实中我们都知道，你很快就会追上并超越乌龟。古代人类开始思考无穷的概念，如果按照上面的思路，很容易陷入悖论中不能自拔。但仔细思考就能看出悖论的问题所在。对路程的无限细分意味着需要无穷多的时间，但是你的时间总是有限的，你肯定不能在有限的时间里做无穷多的事情。当然，用如今我们知道的极限概念更容易理解。

对无穷概念和无理数的思考也让人类化解了第一次数学危机。直到两千多年之后，第二次数学危机才悄然降临，也就是微积分思想。

在牛顿时代，人们还没有完全理解0和无穷下之间的关系，没有彻底搞清楚积分，微分还有导数的真正含义。

比如说在研究曲线上某个点的切线斜率时，如今我们知道可以在切点上取一个边长无限小的直角三角形，用这个三角形的斜边就可以代替切线斜率。

但是人们的心里面总是有一道过不去的坎：总是认为无论直角三角形有多么小，斜边也不可能真的是切线斜率。两者总是有误差的，不能画等号。

直角三角形的斜边可以无限靠近切线斜率，但两者永远不会相同。这就像如今很多人还在质疑的一个问题很类似：0.999......和1到底是不是相等的问题。

这就是数学史上的第二次危机，根本还在于人们对微积分的理解有偏差。

第三次数学危机发生在第二次数学危机的两百多年之后。主要是关于集合论的辩论。最著名的就是“罗素悖论”。

举个简单的例子，一个非常牛逼的理发师打出一个条幅，条幅上写着：给所有不能给自己理发的人理发！

那么问题来了：这个牛逼的理发师能不能给自己理发呢？

如果能，就与宣传广告发生矛盾了：给不能自己理发的人理发，但理发师能自己给自己理发。如果不能，也不行，因为理发师说了能给自己不能理发的人理发。

罗素悖论听起来更像是一种诡辩，对集合论定义的诡辩。不过即使是真的是诡辩，人们至今也没能很好地解释这样的诡辩的问题到底出在哪里。

就像人们网络上经常会遇到的一个问题：上帝能无所不能的，那么上帝能制造出一个他自己搬不动的石头吗？与上面的理发师问题一样，无论能或者不能，都会出现矛盾。

从哲学上分析，罗素悖论其实是唯心主义与唯物主义的争论。

如果你是唯心的，你会认为世界都是你的表象，世界只是你意识幻想出来的虚拟环境。于是问题出现了：“你”本身是不是意识虚幻出来的呢？如果是，“你”对“你的概念”的质疑是不是也是虚幻出来的呢？如果也是，那么“你”对“你质疑你的概念”的质疑是否也是虚幻出来的呢......

如此一直下去，没有尽头。最本质的一个问题是：“你”本体到底在哪里？说白了，“你”到底是怎么存在的？

通俗理解，上面的矛盾是这样出现的：你总是首先把你自己置身在某个事件之外，不过换个角度，你自己其实也身在事件之中。所以问题就演变为：你本身到底是在事件之外还是事件里面？

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