解析几何椭圆学完感觉什么也不会（王德峰8.为何说几何学不是科学是哲学）

数乃神的语言，一旦掌握了数的结构，就控制了世界，世界的许多事物都是匆匆过客，唯有数是永恒的。——毕达哥拉斯

主讲人：复旦大学教授 王德峰

关键词：万物皆数

毕达哥拉斯学派的宇宙观听来很奇怪，“数”本是人类用来整理外部事物的方法，怎么能够充当宇宙的本原呢？我们请毕达哥拉斯给出证据来，毕达哥拉斯肯定拿不出证据。

他说整个宇宙由“数”来构造的。他所说的就是他看到如此，“数”与“数”之间的和谐的比例关系，不仅是人类的数学思想，而且就是宇宙的构造本身。

他举了个例子，比如说乐器，假如我们拉小提琴的时候，我们左手的手指在拨动琴弦，让它以一定的距离的方式，按一定的比例来定位，然后拉出那个声音来，这个声音与声音之间如果是和谐的，那叫乐音，如果不和谐就是噪音。这乐音怎么造成的呢？是在一定的比例关系当中发生的和谐，那就是音乐了。看来“数”与“数”之间的和谐比例的关系是音乐的前提。

毕达哥拉斯同时认为“数”也是宇宙存在的方式，所以他说宇宙是个巨大的百音盒，100种音，只不过宇宙的声音我们人耳听不到而已。毕达哥拉斯就是这么开始说宇宙本原了。把“数”看成宇宙本原，它的意义十分重大。

讲“数”是宇宙的本原，就做了这样一种区分：也就是说宇宙中有两类事物，一类是可感的事物，比方说我触摸到这个茶杯，这个杯子是个可感的事物；还有一类事物叫可知的事物，就是可以被认知的事物。可感的事物不等于可知的事物。你面对一个可感的事物，但你还对它并无所知，你只是感觉到它，因此可知的事物一定要超越感性，它是人心可以认识到的东西。

比方说“数”，“数”与“数”之间的和谐比例的关系，这就是可知的事物。具体的五个杯子，六个杯子，它只是可感知的事物。可感的事物的根据在哪里呢？在可知的事物中，我们通过把握到可知的事物，我们才能理解可感的事物。所以倘要追问宇宙的本原，我们要抓住的是可知的事物。在毕达哥拉斯那里，要抓住的就是“数”。一个东西被感觉到，但并没有被认识到，但是我们对“数”可以有认识，“数”与“数”的比例关系可以用数学来表达，用公式来表达，这些都是可知的事物。

这样，毕达哥拉斯学派就扭转了古希腊哲学思想的方向。本来是在自然界中寻找事物的本原，万物的本原，现在要在可知的事物中确立万物的本原，这是一条走向超感性的道路。

我们确实不可能看到“数”、闻到“数”、摸到“数”，但我们就是用数学来整理外部事物的，这一步走得非常关键。西方思想的基本特征恰恰就萌芽于毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派既是一个哲学的学派，又是个数学的学派。这个学派同时是数论的创立者。我们知道，数论是数学当中最核心、最基础的，也是最难的部分。比方说哥德巴赫猜想就是一个数论问题，很难。毕达哥拉斯学派既是数学学派，又是哲学学派，他把哲学和数学统一起来，这种统一意味着什么？

我们现在来思考一个问题：假如我们此刻上几何学的课，老师在几何学的课堂上跟大家讲几何学的公理。比方说欧几里得几何学的第五公理是平行线公理。老师开始讲这条公理了，他是这么说的：如果有两条彼此平行的直线线段，若无限延伸，将永不相交。他这是在表达平行线公理了，突然有一个学生举手了：“老师你怎么知道的？”老师回答说：“我画过的，我从上海的静安寺一直画到外滩，没相交。”那个同学又问了：“如果越过黄浦江，它们相交了该怎么办？”

试想一下，在几何学的课堂上会发生这样的讨论吗？不可能。因为这条公理一旦被说出来，所有听到的人立刻就明白了，不证自明，这叫公理，凡公理就是指不证自明的道理——两条彼此平行的直线线段若无限延伸将永不相交，所有人不会怀疑。

我刚才虚构出来的老师和学生的对话，其实是不可能发生的，这点说明了一件什么事呢？说明了几何学不是一门经验科学，几何学并不建立在观察和实验的基础上。平行线公理并不是画了多么长才能形成的，请问无限延伸，这在宇宙中怎么可能呢？

无限延伸是在感性的世界里永远做不到的事情。但是你能说出来，一旦说出来，我们理性上立即认同这样一个公理，它并不是在说某一次的观察和实验。因此，我们不能称几何学为科学。我们现在讲的科学要么是自然科学，要么是社会科学，一句话都是经验科学，要在实证的事实的基础上给出理论，几何学不是这样的学问。

再举个例子，仍然以几何学为例子。几何学第一堂课要讲几何学的基本观念，几何学的基本观念有点、线、面、体。先讲点，几何老师会跟我们这么说：“点是一个纯粹的位置，它没有长度，更没有厚度，也没有面积。”他说着就用粉笔在黑板上点了一下，跟大家说这就是点。

什么是线呢？线就是点的移动，点的移动造成了线，而线是没有面积的，更没有体积。他这么说的同时，就用粉笔在黑板上画出一条线来。倘若一个学生问：“你说你画的那条线，是没有面积也没有体积的。你现在仔细看看，或者你用高倍的电子显微镜照一照，你发现它简直是山峦，哪里是没有面积和体积的点的移动呢？”

学生若这样一提问，老师倒是哑口无言了，因为它确实是用粉笔把点移动画出这条线的，它当然有体积了，几何学老师怎么面对这样的学生的提问呢？他只能这么说，其实我用粉笔在黑板上画线，只是为了方便教学，在宇宙中根本不存在没有面积又没有体积的纯粹的点的移动，这在宇宙中是不能找得到的。

什么叫面？线的移动。假如一条直线移动了一下，成了一个矩形了，或正方形或长方形。那么什么叫体呢？面的移动。假如一个正方形，它的一条边围绕着它另外一条边转动360度，就成了一个圆柱体。几何学老师在几何学课堂上讲的：点、线、面、体，在宇宙中都不存在。

所以大家首先要确认这一点，我们在宇宙中不可能找到一条纯粹的线，也找不到一个纯粹的面，也找不到一个纯粹的圆柱体。你哪怕对一个物质材料加工再精确，它还是有误差。

所以几何学老师在几何课堂上跟我们讲的点、线、面、体，都不是世界上真实存在的东西，而是在讨论我们心中本有的观念。这本有的观念是我们的理性本来具备的。我们可以在理性上，确认一个纯粹的“点”——它没有长度、没有面积、也没有体积。

说到这里，我们自然明白了，不能把几何学当成一门自然科学。几何学跟真实的感性的自然界没关系，几何学讨论的全是我们人心理性部分所固有的判断。

古希腊哲人曾经做过这样的实验：请一个小奴隶，他根本不识字，没什么文化知识，但是给小奴隶讲几何学的一条公理，一旦跟他讲了，他也就立刻明白了。这是不需要知识的积累的，他只要有一个正常的理性的头脑，就能够确认几何学的公理，他一听就懂。

毕达哥拉斯学派，把数学的东西同时看成是哲学的思想内容，他等于在告诉我们几何学是一门纯粹理性的学问。什么叫纯粹？就是指里边没有任何感觉材料。这一步就是把感性和理性分开了。

可知的世界属于理性所把握的世界，可感的世界是我们的感官所感觉到的世界。世界的最初的区分就来了：两个世界的区分，当我们进入几何学思考的时候，我们就进入一个超感性的世界，它是个可知的世界。

几何学家讨论三角形，比方说给出了三角形的公理、定理和推论。比方说，有一条三角形的定理是这么说的：三角形三内角之和等于180度——这是从公理里边推出来的，三条直线围成一个闭合的空间，它们的数量关系一定是严格被确定的东西，形成一个闭合空间，我们称之为三角形。

这件事情不用实验来做，是理性自己推论出来的。所以几何学家在讨论三角形的性质、三角形的公理和定理的时候，根本不在乎世界上有没有三角形的事物。世界上如果没有三角形的事物，几何学家照样讨论三角形，而一旦宇宙中真出现了三角形的事物，这些事物一定符合几何学关于三角形的所有讨论。

请注意这一点，几何学的命题、它的公理、定理和推论，并不是大量感性经验概括和总结出来的。倘若是这样的话，几何学就成了经验科学了。我们别把事情倒过来想，我们不要以为几何学建立在大量的对数量关系和空间关系的观察和实验的基础上，不是这样的。

几何学可以讨论我们没有看到过的事物，讨论它们的位置关系、数量关系，一旦有了这样的事物，就一定符合几何学或数学对它们的所有讨论。于是我们要问：一个可知的世界，一个可感世界，谁在规定谁？是可感世界规定可知世界呢，还是倒过来可知世界规范了可感世界？这个思想对我们确实是一个冲击。

我们中国人大概从初中开始就要学一点哲学了，教科书中的哲学一定跟我们讲认识论，认识论是怎么讲的呢？人的认识区分了两个阶段，感性认识阶段和理性认识阶段，从感性认识上升到理性认识，再完成了一次飞跃。这给我们一个很强烈的印象——认识总是从感性经验出发的，然后慢慢地上升到抽象的理论。

如果拿这一点来看几何学，事情就不是这样。感性认识要被称为认识，并不是单纯的感觉状态，感性认识其中一定包括被理性规范的感觉材料。如果没有理性的规范，那个可感的感觉材料并不能称为认识。这样看来，哲学的学习是一件非常有意思的事情，就是打破我们对事物的通常的常识理解框架。

比方说几何学中的球体这个观念，是不是来自我们观察到大量的球状物才概括出球体来？在大量的感知、知觉的基础上，几何学获得了一个球体的观念，我们通常这样想。

如果我们这样想，那我们正好想颠倒了。当我们感官在感知不同形状的事物的时候，我们的感知里边已经包含一个认识的形式，这叫“球体”。正因为我们有“球体”这样的认识形式，我们才把这一类事物归为球类，我们会把足球、橘子、苹果归为一类，称其为球类，因为我们心中本有纯粹的球，我们才会把它们看成一类的。并不是无数球状物让我们心中产生纯粹的球体，而是我们心中本有纯粹的球体，才把它们归为球类。

这样，我们就进入西方哲学的基本修养，一个非常古老的哲学学派——毕达哥拉斯学派的宇宙观。

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