线性代数两个矩阵相似的充要条件(线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做)

相似矩阵,顾名思义,就是指存在相似关系的矩阵

一般来说,我们设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B

那么我们就称A、B为相似矩阵

那么相似矩阵有哪些特性呢

一、反身性,A和A相似,那当然,A本来就是A,怎么可能不相似呢

二、对称性,这个也不用考虑太多,A和B相似,那B当然和A相似了

三、传递性,如果矩阵A和矩阵B相似,矩阵B又和矩阵C相似,那自然而然矩阵A和矩阵C相似

四、如果A和B相似,那么两者的秩、行列式的值都是相等的

五、也是比较重要的一点,两个矩阵相似,说明两个矩阵的特征值相等

话不多说,先给出一道实际例题来理解一下

线性代数两个矩阵相似的充要条件(线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做)(1)

图一

类似这道题,给出三个矩阵,让你判断这些矩阵是否相似

那么正如我在图中标出的那样,判断矩阵相似的关键点就在于特征值、特征向量和齐次方程组

为什么我会提到齐次方程组,原因有两点

其一,这三个矩阵的特征值都相等,那么就不能够简单的按照特征值来判断,要借助特征向量

其二,既然要借助特征向量,那么就要用到齐次方程组来求解,形如(2E-A)x=0这种

如图所示,就是详细的解释

线性代数两个矩阵相似的充要条件(线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做)(2)

图二

除了这道题,我还想给出另外一道题,也是特征值都相等的情况下,让我们判断矩阵是否相似

而且这道题有一个特殊之处,在于这些矩阵都不能够相似对角化

这种题目就比较麻烦了,是只能够通过判断有几个线性无关的特征向量来解决了

线性代数两个矩阵相似的充要条件(线性代数中遇到求相似矩阵的题目怎么做)(3)

图三

总的来说,判断矩阵是否相似,关键在于基础部分,特征值和特征向量尤其重要,注意!

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