关于向量和三角形重心的结论（三角形的欧拉线）

三角形的欧拉线、三角形重心、垂心、外心的向量问题，高考数学压轴题多选题。

这个题目非常的困难，我们一起来分析一下。著名的数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，并且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线我们称之为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理。

已知三角形ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M点为BC的中点，且AB=4，AC=2。我们先看一下这个图，则下列各式正确的是哪几个？

本题是一道多选题，第一个研究的平面向量的数量积与重心相关，重心有什么性质？我们要牢记重心分中线为2 : 1，理解重心的向量式或根据我们前面讲的平行走路法进行分解，得着重心的向量式，进而将所求向量按照向量AB和AC进行分解，就可以得到数量积。

第二个选项，三角形的外心相关，凡是遇到与外心相关的问题，我们都要两大思路，一是借助平面直角坐标系中垂线的交点，借助坐标求解，二是巧用投影法将平面向量数量积转化成线段长度问题。

第三个选项，研究三角形垂心与重心的关系，我们在平面向量专栏做了详细的说明，可以借助平面几何知识，也可以借助坐标运算（建系、求高线方程、求交点H），也可以借助平行走路分解法进行转移求解。

第四个选项有难度，难在思路上，一定要落实三角形四个心之间的关系，转移就行了。

这是一道非常经典的例题，希望大家认真落实。如需系统学习请查看高考数学总复习专栏，详见下面的目录及专栏小卡片，已更新853课（15天通关高考数学总复习），适合高二、高三年级的学生使用。总目录可以回复“目录”两个字。

高考数学总复习，配套两大压轴题，高考无敌。

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