数学分析微分学的基本定理（人工智能No.12数学分析之微分）

【导读：当今人类即将或者已然了进入智能时代，这是·情报通·人工智能科普系列第[12]篇文章，欢迎阅读和收藏】

微分在 数学 中的定义：由函数 B=f(A) ，得到 A 、 B 两个数集，在 A 中当 dx 靠近自己时， 函数 在 dx 处的极限叫作函数在 dx 处的微分，微分的中心思想是 无穷 分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

df(x)

设函数 y = f(x) 在 x 的 邻域 内有定义， x 及 x Δx 在此 区间 内。如果函数的增量 Δy = f(x Δx) - f(x) 可表示为 Δy = AΔx o(Δx) （其中 A 是不依赖于 Δx 的 常数 ），而 o(Δx) 是比 Δx 高阶的 无穷小 （注： o 读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数 f(x) 在点 x 是 可微 的，且 AΔx 称作函数在点 x 相应于 因变量 增量 Δy 的微分，记作 dy ，即 dy = AΔx 。函数的微分是函数增量的主要部分，且是 Δx 的 线性函数 ，故说函数的微分是函数增量的 线性主部 （△ x→0 ）。

通常把自变量 x 的增量 Δx 称为自变量的微分，记作 dx ，即 dx = Δx 。于是函数 y = f(x) 的微分又可记作 dy = f'(x)dx 。函数 因变量 的微分与自变量的微分之商等于该函数的 导数 。因此，导数也叫做 微商 。

当自变量 X 改变为 X △ X 时，相应地函数值由 f(X) 改变为 f(X △ X) ，如果存在一个与△ X 无关的常数 A ，使 f(X △ X)-f(X) 和 A· △ X 之差是△ X→0 关于△ X 的高阶无穷小量，则称 A· △ X 是 f(X) 在 X 的微分，记为 dy ，并称 f(X) 在 X 可微。一元 微积分 中，可微 可导 等价。记 A· △ X=dy ，则 dy=f′(X)dX 。例如： d(sinX)=cosXdX 。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的 线性化 。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

设函数 y = f(x) 在某区间内有定义， x0 及 x0 △ x 在这区间内，若函数的增量 Δy = f(x0 Δx) − f(x0) 可表示为 Δy = AΔx o(Δx) ，其中 A 是不依赖于△ x 的常数， o(Δx) 是△ x 的高阶无穷小，则称函数 y = f(x) 在点 x0 是可微的。 AΔx 叫做函数在点 x0 相应于自变量增量△ x 的微分，记作 dy ，即： dy=AΔx 。微分 dy 是自变量改变量△ x 的线性函数， dy 与△ y 的差是关于△ x 的 高阶无穷小 量，我们把 dy 称作△ y 的 线性主部 。得出： 当△ x→0 时，△ y≈dy 。 导数的记号为： (dy)/(dx)=f′(X) ，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的 比值 （把△ x 看成 dx ，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为 dy=f′(X)dX 。

法线

我们知道，曲线上一点的 法线 和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

假设函数 y=f(x) 的图象为曲线，且曲线上有一点 (x1,y1) ，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率 m ：

m=dy/dx 在 (x1,y1) 的值

所以该切线的方程式为：

y-y1=m(x-x1)

由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为 -1/m 且它的方程式为：

y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函数与减函数

微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为 增函数 或 减函数 的有效方法。

鉴别方法： dy/dx 与 0 进行比较， dy/dx 大于 0 时，说明 dx 增加为正值时， dy 增加为正值，所以函数为增函数； dy/dx 小于 0 时，说明 dx 增加为正值时， dy 增加为负值，所以函数为减函数。

例 1 ：分析函数 y=x^2-1 的增减性

∵ y=x^2-1

∴ dy/dx=2x

当 x>0 时， dy/dx>0 ，所以函数 y=x^2-1 在 x>0 时是增函数；

当 x<0 时， dy/dx<0 ，所以函数 y=x^2-1 在 x<0 时是减函数 。

变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积 V （升）和时间 t （秒）的关系为 V=5-2/(t 1) ，

在 t=3 时，我们想知道此时水加入的 速率 ，于是我们算出 dV/dt=2/(t 1)^2 ，代入 t=3 后得出 dV/dt=1/8 。

所以我们可以得出在加水开始 3 秒时，水箱里的水的体积以每秒 1/8 升的速率增加。