等和线定理经典例题（帕普斯定理）

有人说：“几何几何想破脑壳”不无道理。说明有些几何题确实有些难度，帕普斯定理的证明就是如此。

公元四世纪，古希腊数学家帕普斯提出了如下定理：如图，直线a上依次有点A，B，C，直线b上依次有点D，E，F，设AE，BD交于P，AF，DC交于Q，BF，EC交于R，则P，Q，R三点共线。

这一定理看似平淡无奇，所涉及的内容不过是点和直线，但要证明它倒有点无从下手，深不可测的感觉。下面是笔者的分析与证明过程。

如图1，分析：当ABFE是平行四边形时，证FR∶AP＝FQ∶AQ，证∠3＝

∠4得△FRQ∽△APQ，从而有∠2＝∠1，得出P、Q、R三点共线。

证明：当ABFE是平行四边形时，∵BC∥EF，∴△BRC∽△FRE，

∴FR∶RB＝FE∶BC，①，同理：EP∶AP＝ED∶AB，②，①×②得：

直线AQF分别交GH于Q（Q点分GH于GQ，QH两条线段），MH于F（F点分HM于HF，FM两条线段即起点到分点的一条线段，分点到终点的一条线段），MG于A（A点分MG于MA，AG两条线段），∴

直线CRE分别交GH于C（C点分GH于GC，CH两条线段，即起点到分点的一条线段，分点到终点的一条线段），MH于R（R点分HM于HR，RM两条线段），MG于E（E点分MG于ME，EG两条线段），∴

（分析：我们是要证GQ/QH×HR/RM×MP/PG＝1，然上面的式子并不等于1且较复杂，给我们有点误入歧途的感觉，难点就在这，我们不应该放弃或气馁，结论告诉我们HF•MA•GC•ME•GD•HB＝FM•AG•CH•EG•DH•BM成立，实际上

△MGH还有两条截线：ABC和DEF，继续用梅氏定理，或许能证明。）

∵直线ABC截GH于C，HM于B，MG于A，∴

∵直线DEF截GH于D，HM于F，MG于E，∴

⑤×⑥得：GC•HB•MA•GD•HF•ME＝CH•BM•AG•DH•FM•EG

即： HF•MA•GC•ME•GD•HB＝FM•AG•CH•EG•DH•BM ⑦

比较④⑦两式得：

由梅氏定理得：P、Q、R三点共线，帕普斯定理证毕。