材料力学公式与总结（材料的强度和力学性能）

其实这个问题已经在之前的笔记中有提起过，这里我们将进一步进行讲解。我们首先回忆下之前说的强度和刚度的问题，强度是材料抵抗破坏的能力，即应力问题；而刚度是材料抵抗变形的能力，即应变问题。我们再想想弹簧的胡克定律，力=变形量×弹簧刚度，于是结合之前所说的内容，我们得到下面这张图：

图 4.1 基本对应关系

所以弹簧中所讲的胡克定律只是最基本的应用，真正的胡克定律是描述应力和应变关系的定律。这时候我们再回想之前所讲的正应力和正应变，剪应力和剪应变，和胡克定律的结合我们分别能够分别得到两种应力关系和应变关系的等式：

正应力 σ=杨氏模量 E×正应变 ε

剪应力 τ=剪切模量 G×剪应变 γ

上两个式子就是应力应变关系式，这里我们出现了两个新的名词杨氏模量和剪切模量。

我们首先解释下。

应力和应变的关系我们可以统一写成应力=弹性模量×应变，这个弹性模量是一类统称，当应力应变是剪的时候我们就成为剪切模量，当为正应力应变的时候就是杨氏模量，还有其他如体积模量、弯曲模量等等很多。因为杨氏模量是弹性模量中应用最为广泛的一种，所以在实际使用经常将弹性模量等同于杨氏模量，但是我们一定要清楚这两者是有范围上的区别的。模量代表的就是材料的刚度，模量越大的材料抵抗变形的能力就越强，比如橡胶的弹性模量就很小，而合金钢的弹性模量就很大，所以相同的力，橡胶的变形就会远远大于合金钢。接下来我们就具体说说杨氏模量。

我们知道平时我们对材料做的最多的实验就是试棒拉伸实验，几乎所有工程师在学校里就做过这个实验，这个实验做出来的弹性模量就是杨氏模量。这个实验的实验方法我们这里就不展开讲解了，相关信息可以参考国家标准 GB／T228.1-2010。

图 4.2 拉伸实验的示意图

通过这个实验，我们可以得到一张非常重要的材料拉伸性能曲线图：

图 4.3 材料拉伸曲线

图 4.3 中横坐标为应变，纵坐标为应力，A 点到 B 点这个阶段我们称之为弹性区，这个阶段满足我们之前所说的胡克定律，这个 B 点之后到 D 点破坏的阶段，我们称之为塑性区，这个阶段胡克定律就失效了。同时注意，AB 段的斜率就是我们所说的杨氏模量。

对于这个问题我们用一个很形象的例子说明：弹簧。我们知道弹簧在一定伸长范围内，如果我们把力撤除，弹簧就会恢复原始的样子，但是如果我一旦力过大，弹簧就回不去了。这两者的区别就在于弹簧的弹性区域和塑性区域。当材料在弹性区域内变形，力撤除后会恢复原始形状，在塑性区域内变形，力撤除后不会恢复原始形状。所以很多时候我们在设计产品的时候，是不允许结构的应力到达塑性区，也就是图中的 B 点屈服应力，就是这个原因。但是塑性在生产阶段的运用还是非常广泛的，比如钣金件的折弯，就是必须让材料达到塑性阶段，像车身机箱外壳这些产品就是这方面的应用。

根据需要再回忆下之前说的许用应力的设计问题，其实对于我们工程师来说，图 4.3 中屈服之后的材料段基本上是不研究的，材料力学也是不研究这个阶段，这个阶段根据需要会在弹塑性力学当中学习，只是本人认为这个方向我们工程师也没有去了解必要。