三角形重心意义（三角形重心性质的表演）

三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题

我在教学过程中，最怕遇到这样一类学生，一看到某图，题目条件都没看完，就把辅助线给添加上去了，如果恰好做对了，还会跟我说，这题好简单，某某模型一下子就出来了；如果没做对，便开始尝试各种模型的辅助线添加方法，直到碰到死耗子为止；当然也有可能一直碰不上那只死耗子，便只好耗死自己，徒呼奈何。

那些看起来像某模型，但却不是用该模型的套路的压轴题，便正好是这类学生的克星。

题目

平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE.

(1)若AE=CE.

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②若AB=5，AE=3，求线段BD的长；

(2)以A为圆心，AE为半径作圆，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=√2AE，若F在直线CE上，求AB:BC的值.

解析：

(1)给出条件AE=CE，则原平行四边形ABCD的形状发生了改变，如下图：

①连接AC，由AE=CE可知△AEC是等腰三角形，再由平行四边形对角线互相平分可得点O是AC中点，最后由三线合一证明OE⊥BD，即AC⊥BD，现在平行四边形ABCD的对角线互相垂直，因此它是菱形；

②在前面证明了菱形的基础上，观察AB和AE，它们的共同点是均作为直角三角形的斜边，分别是Rt△AOB和Rt△AOE，同时这两个三角形还有一条公共边OA，另一条直角边都在BD上，这令人联想到勾股定理，如下图：

Rt△AOB中，OA²=AB²-OB²=25-OB²，Rt△AOE中，OA²=AE²-OE²=9-OE²，可得25-OB²=9-OE²，我们整理一下：

OB²-OE²=16

(OB OE)(OB-OE)=16

写到这一步，OB和OE之间有无数量关系呢？

再次审视△ABC，AP是它的中线，BO也是中线，两条中线相交，交点为重心，如果能联想到重心性质，它将每条中线都分成1：2两部分，此题就容易了；

由重心性质可得BE=2OE，于是OB=3OE，上面的等式可变成8OE²=16，解出OE=√2，所以OB=3√2，BD=6√2；

为什么重心可以将每条中线分成1：2两部分呢？我们可以用面积法来证明：

上图中，△ABC三条中线交于点O，每条中线都将△ABC分成面积相等的两部分，例如△ABE和△ACE面积相等，同样对于△OBC，OE也是它的中线，于是△OBE和△OCE面积相等，可得△AOB和△AOC面积相等，可证明上图中6个小三角形面积全部相等，其中△AOB占1/3，△OBE占1/6，它们等高，所以底的比为2:1，即OA:OE=2:1，剩下的同理可证；

(2)我们先按题目要求作图，如下：

事实上这两个圆的作用主要是引起对公共弦EF的注意，由于教材中并未给出公共弦的性质，需要简单证明一下；

在圆A中，AE=AF，在圆B中，BE=BF，点A和点B到线段EF两端的距离相等，所以AB是EF的垂直平分线。

前面证明过△ABC的重心是点E，本小题中依然成立，所以CH也是△ABC中线，即点H是AB中点，现在AB和EF互相垂直平分，即四边形AFBE是菱形；

现在我们不再需要那两个圆了，重点利用好这个菱形，如下图：

在△BCF中，点P是BC边上中点，且PE∥BF，可得PE是△BCF的中位线，不妨设AE=x，则CE=√2x，则EF=√2x，EH=√2/2·x，现在再来看△AEH，显然这是一个等腰直角三角形，求出AH=√2/2·x，于是AB=√2x；

在Rt△BCH中，我们利用勾股定理得到BC²=BH² CH²，其中BH=√2/2·x，CH=3√2/2·x，求出BC=√5x；

最后求出AB:BC=√10/5.

解题反思：

这道几何压轴题还是有一定难度的，理解关键点便在于三角形重心的性质，我们在学习三角形重心的时候，印象最深刻的莫过于它是三条中线的交点，然而这个交点对于每条中线的分割，平时接触少了，便不太记得，尤其在第2小题中，判断点H也是AB中点，所依据的，仍然是“三条中线交于一点”这么浅显的道理。

当然，在讲完这道题之后，会感觉原来这么简单，重心我也知道，为什么在解题时就想不到呢？我们回溯到重心这一节内容上来，教材中关于它的描述是什么？教材习题中可有它的身影？又是如何运用的？为什么平时的作业或考试中，我们不能这样考它？只是因为平时没有这样考，便不会这样想吗？……

为一连串问题下来，想必已经找到部分原因了。初中数学的知识点众多，曾经练习过，也归纳过，但不能变成套路，理解每种模型的本质，知道为什么它会成为模型，至关重要。

还是那句话，不反对解题模型，但它要是学生自己归纳出来的，不能是老师灌输。若是把解题模型看作是武功的招数，那么最高境界应该是“无招胜有招”。

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