求单位圆在点处的切线方程（单位圆上的极值问题）

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

设是关于的二元有理多项式函数，下文考虑的最值问题。

Part1一、

这里首先要考虑分母为零的情况，如果可以取到的话，那么函数在单位圆上不是一个连续函数，排除可去奇点的情况，在处发生爆破，趋于。

如果分母不为零，则函数在单位圆上连续，由于单位圆是闭集，于是连续函数在其上可以取到最大、最小值。

三角换元：

求导

<左右划动>

整理分子求解极值点方程：

黄金代换：

其中，于是导数分子可化为关于的二次方程：

解二次方程

<左右划动>

刚好两个极值点，其中一个是最大值，一个是最小值，所以在单位圆上的取值范围介于之间。

解的三角函数表示太复杂，还可以考虑用拉格朗日乘数法。

设

这里解释一下，我们发现当代入单位圆上的点，，所以问题可以转化为求的最值，求偏导（和一元函数求极值的原理可以类比）：

极值点方程

不考虑分母为零的情况，则

注意到点在单位圆 x^2 y^2=1 上，所以得到一条直线

再与单位圆方程联立

得到极值点

最后代回到直线方程即得最值：

观察图像我们就可以直观地明白：由于函数的几何特性（马鞍面），它有竖直方向的渐进线，当圆柱靠近马鞍面中心区域，两者的交线可能会不闭合，即产生爆破点。而在一般位置，如图2，交线则是有界闭合曲线，即存在最值。

Part2二、

我们以下述函数为例子。

问题等价于考虑二元函数在满足条件

下的最值. 拉格朗日乘数法：

满足上述方程组的点中一定有最值点。

结合条件可化简为

再代入可以得到方程：

数值解：

解析解：

<左右划动>

<左右划动>

最小值点、最大值点分别为：，求得最值

最后做一点推广。

对于一般的函数有理多项式函数，求极值的问题都可以如上操作：

得到关系式

因为是有理多项式函数，那么它的偏导也是有理多项式函数。所以这类问题本质上就是解代数方程，三角关系只用到了恒等式。如果只是一次多项式，此时直接利用辅助角公式就好了。

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