高中数学几何简单的消参法（立体几何中的最值问题的四种求法）

1. 用配方法求距离的最值

例1. 如图1，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若

。试求当a为何值时，MN的值最小。

图1

分析：此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离，再用配方法求最值。

解：过M作

，垂足为H，连结NH，如图1所示。在正方形ABCD中，

，所以

，因为平面

平面AE，所以

平面AE，即

。因为

，所以

即

，

，由余弦定理求得

。所以

当

时，

，即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为

2. 结合实际找最值位置

例2. 在一张硬纸上，抠去一个半径为

的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥

上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。

图2

解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O。

连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点，则

平面

平面BCD，所以

，

，即

。又因为

，所以

又

，所以

，即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是

。

3. 利用函数的有界性求体积最值

例3. 如图3，已知在

中，

，

平面ABC，

于E，

于F，

，

，当

变化时，求三棱锥

体积的最大值。

图3

解：因为平面ABC

平面ABC，所以

又因为

，所以

平面PAC，又

平面PAC，所以

，又

，所以

平面PBC，即

。

EF是AE在平面PBC上的射影，

因为，

所以

，即

平面AEF。

在三棱锥中，

，所以

，

因为

，所以

因此，当

时，

取得最大值为

。

4. 结合图形列方程求解。

例4. 棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？

图4

解：过正方形对角线的截面图如图4所示。

，

设小球的半径为r。

在

，

，所以

，解得

，为所求。

--END--

,