从零开始学习数学几何（玩转数学史混沌理论）

1961年的一天，美国数学家爱德华·洛伦茨（1917—2008年）正在运行一个天气的计算机模拟软件。他注意到了一些奇怪的东西。他两次运行同一个模拟程序，最初的参数都一样，他却得到了两个完全不同的结果。这就好像是计算两次2 2却得到了两个不同的答案。

最终，洛伦茨追踪到了问题的根源：第二次时他输入的参数只保留到小数点后3位而不是6位，导致了一些微小的误差。然而最初条件里这个小小的变动却得到了截然不同的结果。这一发现使得洛伦茨开始思索：“是否有可能巴西的蝴蝶扇动一下翅膀就导致德克萨斯州的龙卷风？”洛伦茨发现了蝴蝶效应，并且开创了数学的一个崭新分支：混沌理论。

从太空看到的风暴系统——它有没有可能是由大洋之外蝴蝶翅膀的一次扇动引起的？

混沌革命

事实上，混沌理论早就出现了，只是没有被意识到而已。在1900年左右，法国数学家和物理学家亨利·庞加莱（1854—1912年）发现了动力学不稳定现象。在当时，物理学和数学的准则是确定性，即如果你知道了任何系统或者过程的初始条件，那么你就能确定结果。这一点的终极实例就是行星的运动。牛顿力学已经完整且详细地阐明了这一点，给出天体更精确的位置和运动轨迹，就能够精确地预测它们的位置。庞加莱发现对所谓的“三体问题”（3个天体互相环绕运动），这一点不成立。预测它们运动轨迹的等式，即使是小小的误差也会导致截然不同的结果，使得预测结果有着极大的不确定性。不论最初的不确定性有多小，最终的不确定性都是巨大的。在庞加莱的时代，这被称作动力学不稳定性，现在则被称为混沌。

庞加莱和其他人的工作成果预见到了混沌理论，却不为人们所知，直到洛伦茨和他的蝴蝶效应诞生。现如今它被认为是20世纪最为基础和重要的发现之一。

混沌理论动摇了物理学界的确定性观点，证明了天气系统到水轮系统，许多系统的行为都是无法精确预测的。

美国宇航局使用红色颜料气体测试空气涡流——空气中的涡流也是混沌系统。

疯狂中的方法

混沌在数学上的意思并不是随机或是无序，许多混沌系统都表现出规律模式或是循环。它们可以通过“相空间”来实现可视化。给出一个变量或者参数的集合，比如在天气的例子中，可以是温度、气压、湿度、降水量和风速，都通过一个个的点来表示。每个点代表了系统在这一时刻的状态。不论起始状态如何，这样的系统都会趋向一个均衡状态。就好像雨水落在河流的集水区域后，都会因为中立顺着地形流入谷底汇入河流。在相空间中，相当于中立的东西被称为吸引子，因为任何开始状态的集合只要落在吸引子的区域就会演变到吸引子决定的均衡状态下。有序的系统有着固定点、有限的循环或者是周期性的吸引子。比如说，一个钟摆就是一个有序的系统，它有着固定的吸引子。而一个狩猎者——猎物的系统则是一个有着有限循环或者周期性吸引子的有序系统。相反，混沌系统有着奇怪的或者说混沌的吸引子，系统的状态永远无法被精确预测或者是精确重复，它趋向于在不同状态的均衡中摆动或是循环。

混沌系统像空间的一大特点是，尽管整个系统具有规律，但是不论观察得多么细致，它总是表现出同等程度的复杂度和不可预见性（这被称作具有分形性）。比如说，洛伦茨建立了简单系统下的气体模型，系统在任何时点的状态都由之前的状态决定。他发现，系统的表现具有混沌性。当他在相空间中对结果作图时，得到了一个极富特性的双螺旋图形，类似于蝴蝶的翅膀，现在这个图形被称为洛伦茨吸引子。

二维空间中的洛伦茨吸引子。

分形

一个芒德布罗集和的分形，不论你对边缘部分进行何等细致的观察，它都表现出同样的复杂度。

如果你画一个三角形，并且在它的每条边上作小一些的三角形，得到的图形仍然包含在原来三角形的外接圆以内，因此新的面积仍然小于外接圆的面积。如果你无限重复这一操作，你最终会得到一个被称为科赫雪花的几何图形。这个图形有着无穷的边长，但是面积却是有限的，永远小于那个外接圆。科赫雪花是一种分形，分形在各个层级都是自相似的，也就是说它的复杂度是无穷的。分形在自然界中很常见，比如你观察海岸线，不论你观察的多么细致，你总能观察到同样的复杂度。程序员利用这一点，使用分形生成软件得到的计算机游戏图像模拟自然现象。

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