群论与抽象代数(因为解方程而打开的抽象代数大门)

西方的几何公理体系,与东方的代数算法体系,是古代数学的2个不同脉络

几何,早在古希腊时代就已经建立了公理化的体系。

代数,实际上直到近代才真正地公理化

群论被创立之前,代数实际上只是一些解方程的算法,更类似工程而不是科学。

一元一次方程:2x = 2,

解:x = 1。

两边除以2就行,为什么?

别说回答这么复杂的问题,就是回答什么是乘法、除法、加法、减法,在抽象代数诞生之前,都难以公理化的描述[捂脸]

所以说,古代解方程的方法是应用数学算法,而不是数学理论

代数的公理化,远比几何的公理化更难

代数脱胎于算术,很早就被人们所熟知,反而更容易让人忽视,更难对它进行深入的研究。

熟视无睹,直到解5次方程时遇到了困难:给不出求根公式[呲牙]

也就是从这时候,人们才开始研究加减乘除到底是什么?

这已经到了17世纪伽利略观察木星的时代了。

1,方程的诞生,

鸡兔同笼问题,是小学数学的基本难题,可能没有之一。

如果不用方程用算术怎么解?

“鸡兔同笼,有20个头,60只脚,问鸡、兔各有多少个?”

解:

假设20只全是鸡,那么有20x2=40只脚。

脚数跟总数的差额60-40=20只。

如果把1只鸡换成1只兔子,可以增加4-2=2只脚:那么,要换多少只兔子,才可以补齐20只脚的差额

20 / 2 = 10只兔子。

20 - 10 = 10只鸡。

头数:10 10 = 20。

脚数:10x2 10x4 = 60。

求兔子只数的总算术式:(60 - 20x2) / (4 - 2) = 10,

进一步获得鸡的只数:20-10=10。

如果使用方程的话,我们使用二元一次方程组,设x只鸡,y只兔子:

x y = 20, (1)

2x 4y = 60, (2)

(1)式乘以2,可得:2x 2y = 20x2 = 40,

(2)式减去(1)式,可得:4y - 2y = (4 - 2)y = 2y = 60 - 40 = 20,

进一步可得:y = 10,

最后可得:x = 20 - y = 10。

解方程的步骤,与算术的步骤是一样的,只是算术更抽象,都是间接运算,而方程是直接运算

算术,相当于是在刚研究问题的时候,就要展开问题的解法

所以,算术对人们的思维深度要求更高,对大脑的信息迭代速度要求更高。

如果是一般人不会拿算术求解,很多人会说你笨,但当问题复杂到大牛也没法拿算术求解的时候,大牛就发明了方程[捂脸]

实际上,大牛的大脑也迭代不动了,然后他就换了思路:既然逆向思考太难了,干嘛不设个未知数,正着来呢?

于是,以后的所有问题,都变成了解方程的问题。

就算是欧几里德辛苦创立的几何公理体系,也被笛卡尔嫌弃“只能锻炼人们的思维”,然后笛卡尔发明了解析几何[呲牙]给他变成了代数方程

笛卡尔:“我希望之后人们可以真正地解决问题,而不只是锻炼思维。”

“两点可以确定一条直线吗?”

ax by = c确定一条直线:又精确,又直接。

2,解方程是个问题,

ax b = 0,解:x = - b / a.

......

代数方程求解问题,是个因式分解问题。

只要多项式能够分解成一次式的乘积,那么就可以获得n个根(n为次数,包含重根),即:

多项式的分解,当然是依赖于系数的:因为不同的多项式变化的是系数,而次数是固定的缺项可以看作系数为0

根与系数的关系,早在16世纪的意大利和法国就被注意到了,即韦达定理

韦达定理还可以从2次方程继续扩展到高次方程:根的和与n-1次项的系数有关,根的积与常数项有关(具体的可以查看代数书)。

虽然人们在16世纪就发现了根和系数的关系,但是,5次方程的求根公式就是给不出来。

因为,人们甚至没法说清楚:加、减、乘、除、开方到底是什么?

求根公式,根式解,人们从古代一直用到18世纪,依然说不清这些运算的本质。

3,加、减、乘、除、开方,到底是什么?

减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算,这是人们熟知的。

开方是什么?

(如果x^n = y,那么x就是y的n次方根,这个定义没什么用

我们先从2次方程的求根公式开始:

为了简单,可以让a = 1,即方程的左边是首一多项式。

为了让方程的判别式不成立,从而产生虚数,可以看这个方程:

它在复数里是有解的:-1 i, -1 - i

但在实数里是无解的,在有理数里当然也无解

-1 和 i 是没法合并同类项的,因为它们2个处于不同的维度:

画在图上时,-1在x轴,i在y轴。

群论与抽象代数(因为解方程而打开的抽象代数大门)(1)

x^2 2x 2的两个根

可以看出,解这个系数全是实数(有理数、整数)的方程时,居然需要跑到复数里才可以!

所以,高次方程本质上是扩大了数的范围:它的系数可以在不同的数集里。

仅仅是2次方程,就可以把根映射复数里。

f(x) = x^2 bx c = (x - x1)(x - x2) = 0,它确定的是(b, c)(x1, x2)之间的函数关系,这个关系是一一对应的,因为它们都表示同一个方程

A:知道系数求根,有2次方程的求根公式

B:知道根求系数,直接把根代进去,就是系数的一次方程

当x1 != x2时,范德蒙德矩阵的行列式不为0,所以上面的线性方程组唯一解

即,多项式方程(在没有重根时)是根与系数的一一对应关系。

这个对应关系,可以把实数的系数映射到复数的根,或者反过来

所以,对于一般的高次方程来说,求根的前提是扩大数的范围

更准确地说,是扩大数的维数

因为整数除法运算的结果不闭合,所以研究方程的解时,最小范围必须是有理数Q

如果在整数范围内,那么一元一次方程都可能无解,例如2x = 1。

要为了求根而扩大维数时,扩大的基础就是有理数Q

4,那么,加法和乘法是什么?

通常的加法,是有理数Q上的一个二元运算符,它表达了一个对应关系:z = a(x, y)。

通常的乘法,也是有理数Q上的二元运算符,它也表达了一个对应关系:z = m(x, y)。

找出它们两个的共同点来,就是群论

一个集合,与定义在它上的二元运算符,符合哪些公理[捂脸]

公理1结合率:a (b c) = (a b) c, a x (b x c) = (a x b) x c.

公理2,单位元逆元:a (-a) = 0, a x (1/a) = 1.

加法的单位元叫0,俗称零元

乘法的单位元叫1,俗称单位元

代数学上,这就是0和1的本质,符合这个条件的都可以叫0和1。

公理3,交换律:a b = b a, ab = ba.

加法是肯定符合交换律的,因为加法的两个元素是同类。

乘法不一定符合交换律,因为乘法的两个元素不一定是同类。

之前的文章里举过例子,1个盘子里有5个苹果,3个这样的盘子,总数有多少个苹果?

解:5x3 = 15,5是苹果的个数,3是盘子的个数,3和5在这里并不是同样的含义。

所以,矩阵乘法“不交换”是正常的,整数乘法“交换”才是特例。

所以,加法乘法的区别,就在于符不符合交换律

所以,减法除法不存在,存在的只是加法和乘法的逆元

所以,一元一次方程求解问题,就是求加法和乘法的逆元问题。

求逆元需要几步运算?1步,见公理2

所以,一元一次方程的求解只需要2步:第1步求加法逆元,第2步求乘法逆元

方程:ax b = 0,

求加法逆元:ax = -b,

求乘法逆元:x = -b/a,完成。

当未知数前面的系数是乘法的单位元时,就是一元一次方程的解。

多个未知数的一元方程组的解,都通过加法和乘法运算,先转化成一元一次方程。

5,那么,开方是什么?

在第3节里说了,高次方程本质上是扩大了数的维数,扩大的基础是有理数Q

那么,从有理数实数需要扩张多少个维数?

无穷个,因为

所以,不能直接在实数域里考虑高次方程的求根问题,而是一点点的扩张。

例如:

方程1:x^2 - 2 = 0,它的求根实际上只需要扩张一个数,

方程2:x^2 - 3 = 0的求根,只需要扩张一个数,

方程3:x^2 - 6 = 0的求根,在上面2个扩张的基础上,它不需要再扩张了,因为6 = 2x3。

6是合数,当它的所有质因数的平方根都被扩张进去之后,它的方程x^2 - 6 = 0已经可解了。

方程4:x^2 - 8 = 0的求根,也只需要扩张就行,它的解是

所以,就可以满足上面4个方程的求根,不需要扩张到整个实数R

开方运算,本质上是有理数域的扩张域的扩张

6,是什么?

域,是能够进行加法乘法运算、和它们的求逆运算最小封闭集合

如果只定义1种运算(加法或乘法),并满足结合率、单位元、逆元的集合,叫

如果定义了2种运算(加法和乘法),并满足分配律的集合,叫

公理4,分配律:a x (b c) = ab ac,(a b) x c = ac bc.

环的基础上,还可以求乘法的逆元,就叫

加法的逆元是肯定存在的,整数就可以满足封闭条件

乘法逆元的存在,可以得出这个公理:

公理5,消去律ab = 0,所以a = 0b = 0.

如果a != 0,它就存在乘法逆元,即倒数1/a左乘1/a就可得b = 0。

如果b != 0,它就存在乘法逆元,即倒数1/b右乘1/b就可得a = 0。

域的0之外的元素,都有逆元

所以,有理数Q是个域,实数R是个域,复数C是个域。

但是整数Z不是域,它只是个

所以,方程的根式解问题,是有理数域Q的一个有限根式扩张问题。

根式扩张之后的域,叫做多项式的分裂域(用F表示)。

F是Q上的一个有限维线性空间

,是什么?

系数(4, 8, 16)为的一个线性表示

F除了Q之外的其他元素之间的对应关系,是关系到高次方程是否有根式解的关键。

这个对应关系,叫做伽罗瓦群Gal(F/Q)

7,伽罗瓦来了,

伽罗瓦定理:一般5次方程的根式可解当且仅当它的分裂域对应的伽罗瓦群可解群

群论与抽象代数(因为解方程而打开的抽象代数大门)(2)

伽罗瓦理论

可解群是什么?

就是群中的元素,可以沿着一条链变换到群的单位元

ax = b要是求解,只需要把系数a变成1,乘以1/a就行,所以一元一次方程是可解的。

群的元素不一定是数字,也可以是对应关系(置换)。

所以,有时候换过来之后,换不回去。

群论与抽象代数(因为解方程而打开的抽象代数大门)(3)

魔方的旋转,就是一个群

8,为什么有的方程没有根式解

因为加法乘法运算会消除信息

f(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x - x5) = 0,这个方程是完全信息的。

它的根就是x1, x2, x3, x4, x5。

但是,把它展开之后就不是这样了:

f(x) = x^5 (x1 x2 x3 x4 x5)x^4 ...... (-1)^5 x1x2x3x4x5

= x^5 ax^4 bx^3 cx^2 dx f = 0.

加法运算,是肯定会消除信息的。

4 = 1 3 = 2 2,光看到4是不知道它由哪2个数字加出来的。

乘法运算,在2个乘数不全是质数的情况下,也会消除信息。

54 = 6x9 = 2x27 = 3x18,也是没法确定它是哪2个数字乘出来的。

所以,有些方程没法从系数反回去求根,就是必然的。

9,法国大数学家、群论的创始人、伽罗瓦

又是法国[捂脸]

伽罗瓦出生于1811年1832年过世,年仅21岁

他从16岁学数学,5年之后创立群论,论文曾经寄给柯西、傅立叶

柯西把这篇数学史上最著名的论文给搞丢了,而傅立叶收到论文后恰好病逝。

然后,伽罗瓦因为一个女人(斯特凡妮)而卷入了一场决斗,死时只有21岁

伽罗瓦在决斗前一天的晚上,写下了他的数学理论,让人送给了高斯、刘维尔

刘维尔花了十几年的时间,把伽罗瓦的理论整理出来,用更通俗的语言再次发表,群论才流传下来。

群论与抽象代数(因为解方程而打开的抽象代数大门)(4)

伽罗瓦,1811-1832

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