为什么没有五次方程求根公式（五次方程没有根式解之后鲜为人知的历史）

多项式代数方程的求解历史，绝大多数人还是熟悉的，但仅限于阿贝尔(Niels Henrik Abel，1802-1829)给出一般五次以上多项式代数方程没有根式解的结论之前，之后的历史在此给大家脑补一下，我来为大家科普一下关于为什么没有五次方程求根公式?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

为什么没有五次方程求根公式

多项式代数方程的求解历史，绝大多数人还是熟悉的，但仅限于阿贝尔(Niels Henrik Abel，1802-1829)给出一般五次以上多项式代数方程没有根式解的结论之前，之后的历史在此给大家脑补一下。

二次方程的求解由古巴比伦人于公元前几世纪完成。三次四次方程的求解到十六世纪才分别由意大利数学家卡尔丹（Girolamo Cardano，1501-1576）和费尔拉里（Ludovico Ferrari，1522-1565）完成。阿贝耳（ Niels Henrik Abel，1802-1829）觉察到五次以上方程原本无根式解，并得出一般五次以上方程不存在根式解的结论。1830-1832年伽罗瓦（ Evariste Galois ，1811-1832）创立群论，给出了一般五次以上代数方程无根式解的流传至今的证明，可见于诸多伽罗瓦群论的教科书中。没有根式解，即没有可以用加、减、乘、除、乘方及开方表达的解，那么引入超越函数可否有解？如果引入若干超越函数后还是无解，那是另一回事。但如果未做尝试就断定没有解，前沿的数学工作者绝不可能这么做。因为数学就是数学，不可能在没有严格证明的情况下贸然给出一个结论。或者说没有代数解而不设法寻求引入超越函数以给出解析解，那也非数学家的性格。毫无疑问，只要存在一线希望，数学家都会寻找。历史也是按照我们这样的理解发展的，而且可以说这个问题吸引了每个时代最有才华的数学家。

第一个取得成功进展的是著名数学家庞加莱(Jules Henri Poincare 1854-1921)的老师埃尔米特（Charles Hermite，1822-1901）， 他的《论五次方程的解》一文发表于1858年，他用椭圆模函数成功地解出了一般五次代数方程(可参见《数学精英》中译本537页)。

1870年Camille.Jordan (1838-1922)用椭圆模函数解出了一般代数方程。其后，分别由Ferdinand .von.Lindemann在1892年，Emory.McClintock在1895年，Robert Hjalmal.Mellin 在1915年，R.Birkeland在1925年，H. Umemura 在1984年给出了一般多项式代数方程的θ函数表示法、级数法、Mellin积分法、超几何函数法及椭圆Siegel函数。

需指出的是，以上结果中除过埃尔米特给出的五次方程的公式解为二元解之外(事实上六次方程的解也是可以用二元函数表达的)，其余结果都是多元解，也就是说用多元函数表达的解。以上这些结果读者了解即可，我们介绍的重点在希尔伯特（David.Hilbert，1862-1943）以后的工作。对多项式代数方程在n>6时以至于一般超越方程是否存在二元函数解，希尔伯特（David.Hilbert，1862-1943）是持怀疑态度的。他的想法是假若能证明含3个系数的多项式高次方程的解（他给出的例子是x^7 ax^3 bx^2 cx 1=0）根本无法表达成任意二元函数的复合（注意这里提到二元函数的复合，确实，我们自觉不自觉的一直在用多元函数的复合，但从未有人对多元函数的复合给予足够的重视。没有像对待一元函数的复合那样，明确提出多元函数的复合概念并且给出多元函数复合的表达方法，因而也就没有可能发现多元函数的复合在给出方程的公式解中的重要作用。），那么寻求新的超越函数以给出一般高次方程的公式解就是徒劳的。所谓任意二元函数的复合，是指所有这样的函数，首先可以给定一个二元函数，其中的两个变元可以替换为任意选定的二元函数，再进一步其中的每个变元都可以依次用二元函数来替换。这里允许替换的次数是有限的。这一想法的美妙之处在于，只要能证明他的猜想，就一劳永逸地解决了多项式方程的求解问题，即一般多项式方程不存在二元函数的公式解，当然一般超越方程就更不用说。这就是希尔伯特第十三问题提出之根由。

希尔伯特一次性地否定证明多项式代数方程不存在二元公式解的想法是激动人心的。但1956年，前苏联数学家柯莫格洛夫(Andrei Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987)出人意料地证明了任意多元连续函数都可以由三元连续函数的叠加复合表示。次年，他最优秀的一个学生阿诺尔德（Vladimir Igorevich Arnold ，1937-2010）将三元连续函数的表达变为二元连续函数的表达。再进一步，柯莫格洛夫证明任一多元连续函数可由一元连续函数的叠加复合表示。而用光滑一元函数的叠加复合则无法表达多元光滑函数，用解析一元函数的叠加复合无法表达为多元解析函数。但用光滑一元函数的叠加复合可否表达多元解析函数之问题则未解决。前文我们说过，方程求解这一问题吸引了每个时代最有才华的数学家。 须知，庞加莱、希尔伯特及科尔莫哥洛夫无疑都是所处时代的顶尖数学家。

所谓的多元函数表达为一元函数的复合叠加形式，是指n元函数w(x1,x2,…xn)可以表达为形如f[g1(x1) g2(x2)… gn(xn)]的若干项的叠加。这样的项需2n 1项。其中gi称为内函数，可以不随w而变，故也称为僵尸函数。麻烦在于外函数f，所谓的光滑或解析就指的是外函数是否可以为光滑或解析。虽然存在连续一元函数的表达，但所谓的连续函数在某些点会异常陡峭。陡峭有什么不好？比如数值分析时我们要插值，陡峭会使插值困难甚或几无可能。

可以说，第十三问题的最终结论让人有点无奈与心酸。你说不能用一元函数的复合叠加表达吧，但若只要求外函数连续，则表达是可以的。你说能用一元函数的复合叠加表达吧，这个表达又不令人满意。前苏联数学家A. G. Vitushkin对第十三问题的结果心有不甘，认为还可以尝试更好的结果，他说，第十三问题“真正的代数内核并未触及” (On Hilbert’s thirteenth problem and related questions, Russian Math. Surveys 59:1 11–25 )。只是，出师未捷身先死，老先生已于前几年过世了。

现在回过头来看，把我们引向更广阔领域的是方程解的多元函数表达，而这一表达的基础是函数的提升、多元函数的复合及多元函数的求逆。如果对这一话题感兴趣，请参阅头条文章《方程王国有新大陆》。

再次提醒，五次方程没有根式解，但有公式解。请大家不要再以讹传讹。证明五次方程没有根式解并非剧本的结束，而是开始。