导数隐零问题大全（对导数隐零点问题原理和使用方法上的完整总结）

之前对隐零点问题至少做过五次的解析，但内容较为分散，单篇内容更多是强调了隐零点用法中的一个问题，今天将隐零点问题从逻辑上到技巧上做一次最终版本的完整总结，关于隐零点问题可能也会是视频课程中的首次内容。

一、什么时候用隐零点来处理导数题目

隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握。

常规用导数求最值有以下三种层层递进的方法：一是常规一阶求导，此时要求导函数f'(x)必须能求出零点或者能直接判断出导函数在给定区间内不变号(保号)，在这里还需要熟练掌握常见的八种导数模型的单调性，最值以及图像走势；二是用二阶导函数求最值，当一阶导函数无法求零点且无法判断正负时，需要对导函数再求导数(若一阶导函数为分式形式，只需对无法判断正负的分子或分母求导数即可，若导函数为整式形式有时候也只需部分求导即可，因题而定)，通过二阶导数的符号(保号)来确定一阶导函数的单调性，进而确定出在定义域内一阶导函数是否是保号的，但值得留意的是并非一阶导无法求根或判断符号就必须采用二阶导，此时可事先对f(x)的形式进行观察变形，若f(x)中存在指数或对数，可遵循指数构乘除，对数构加减的原则来对原函数作预处理，常规二阶导数的使用场景用下图来说明：

以上图f''(x)≥0在区间(m,n)上恒成立为例，此时f'(x)在(m,n)上单增，若对应的是case1和case2，则很容易看出在给定区间内f'(x)保号，f(x)具有明确的单调性，在定义域的两端点取得对应的最值；若对应的是case3这种情况，f'(x)单增且存在一个零点，那么f(x)的增减趋势为先减后增，在图示x=x0处取得极小值。

以上三种求最值的方法层层递进，隐零点其实是二阶导的补充，因为高三数学中导函数常常以初等函数运算的形式出现的超越函数，因此隐零点的使用场景还是很多的。

二、隐零点问题中的三个关键处理环节

环节1.隐零点存在的证明。

这里又分为两种情况，第一种若可参变分离，此时右侧函数中不含参数，若f'(x)单增，只需带入特定的数字来判断隐零点的存在即可，这种题目是最简单的，第二种若函数不可参变分离，则对函数整体进行单调性讨论的时候证明单增导函数存在零点时就需要用到特定的选点法了，有时可通过经验选择特定的点带入可直接判断出导函数的正负，但更多是需要采用和零点证明中一样的放缩取点法了，而这种方法实际运用起来很注重技巧，之前在导数放缩中给出过相关的技巧展示，后续会以专门的篇幅来给以说明。

环节2.对最值f(x0)的化简。

注意为什么把化简放到了第二位而把隐零点范围的确定放到了第三位，是因为对隐零点所在范围的重新确定需要根据f(x0)化简之后的形式来进一步确定，在用f'(x0)=0对f(x0)进行化简时，化简结果一般是一个可以直接观察单调性和求最值的简洁式子，例如常数，一次函数，二次函数，反比例函数，飘带函数等等，若化简之后依旧是一个具有一定复杂度的表达式，则极有可能说明化简不完善不彻底。

若f(x0)中存在指数或对数或者同时存在，那么f'(x0)依旧含有指数或对数，此时的化简原则是消除f(x0)其中的指数和对数，这就需要对f'(x0)=0进行取对数或者取指数来替代f(x0)中的指数或对数，最终的结果也是为了将最值转化为一个简洁可直接判断单调性和范围的式子，对于对最值的化简，以下面两题为例：

上述两个题目是典型的取对数或取指数对最值进行化简的题型，也是之前发过的题目，掌握其中化简原则和方法即可。

环节3.隐零点所在范围的选取。

以可参变分离后的函数求最值为例，在环节1中带入特定的数字验证隐零点x=x0的大致范围，通常选择的都是相邻的整数点，例x0∈(1,2)，至于判断x0区间的恰当与否需要看化简之后的最值f(x0)在这个区间内的值域的上界和下界的差是否在1之内且是否包含整数，例如k≥f(x)在给定区间内恒成立，若x0∈(1,2),此时最大值f(x0)∈(4,5)，那么x0的取值就是恰当的，若k取整数，则k≥5;若f(x0)∈(4,5.1)，此时k的最小正整数可取5或者6,则x0的取值就不恰当,需要对x0的范围进一步缩小，因此在用隐零点求最值时，对于环节2中的选点范围先不用着急写，可先对最值进行化简，在草稿纸上对最值的范围作一下初步判定即可，否则答题卡上不会给你预留改正的空白区域了。

环节4.隐零点所在区间的进一步确定。

有三种重新确定隐零点范围的方法，第一种是二分法，若x0∈(1,2)选取不合适，可判断f'(3/2)的正负重新确定在以0.5为分度值x0的区间，这也是较为基础的方法，但依旧不能保证选点的精确性；第二是根据题目后面给出的参考数据重新选点，例如ln2,ln2.5,ln3的参考值，通常这种提示就可以大致确定出隐零点的准确范围；第三种是较为变态的一种，既不能用二分法也没有对应的参考数据，此时可知直接从f(x0)的范围入手反推x0的范围，在之前的推送中给出过原理解析，例如f(x0)∈(4,5.1)，此时k≥f(x)恒成立时整数k的最小值可取5或6，原因是f(x0)中存在整数5，则可直接令化简之后的f(x)=5，解出对应的x1，再判断单增f'(x)在x=x1时的正负，若f'(x1)>0,则x0∈(4,x1)，若f'(x1)<0，则x0∈(x1,5.1)，此时对应的f(x0)一定是满足值域的上界和下界的差在1之内且是不包含整数的，以下面一题为例：

三、隐零点问题常见题型

第一类：无参函数证明题

这类题目用放缩证明更加便捷，若常规设函数求最值中的隐零点法，因为x0的具体范围不能确定，因此导致对应最值f(x0)的正负也不能确定，若题目所要证明的最值有具体的上下界，那么可直接令f(x0)等于上下界，反推出对应x0的精确范围x1,x2，但这种反推的过程需要在草稿纸上进行，如下面两题：

例4有上下界，例5只有下界，只需利用下界0反推出对应的x0的范围即可，并没有什么实质性的区别。

第二类：恒成立求参数问题

这里又根据是否标定参数取值类型分为常规题型和一般题型，常规题型不再赘述，只需确定出合适的x0的范围即可，若题目中并没有给出参数的取值类型，那么题目通常是不可分参的，即便分参求得的参数范围也不准确，此时要根据恒成立严格确定出x0的准确范围，具体操作为：

化简之后的最值f(x0)和f'(x0)=0中都包含参数k和x0，用f'(x0)=0确定出k=g(x0)的等价关系后带入f(x0)，此时f(x0)中不含参，利用恒成立f(x0)≥0解出x0的范围后，利用k=g(x0)求出参数的范围。

第三类：与参数范围有关的其他题型

这种没有统一的题型类别，主要是用参数和x0的等价关系来互相转化，例如已知参数范围反推x0的范围，或者用x0的范围反推参数的范围，算是第二种题型的补充形式，以一题为例。