椭圆的两顶点平分半径吗（第二百六十八夜）

已经是2022年了，但2021年都不知道是怎么过去的。

无论是怎么过去的，“往者不可谏，来者犹可追”，做好当下就是最好的选择。这不是对你的忠告，而是对我自己的宽慰。

2022年，我将一如既往地写下去，直到无题可写为止。我知道这是一句没道理的话，就算是天下无贼，也不可能是天下无题。所以有朋友不能理解，其实我也不能理解——坚持的是什么，又是为了什么。我只能敷衍，坚持是种习惯，习惯坚持。

法1，设点。解析几何中设元，无非就是设点和设线，只不过设点相对陌生而已。设点又分为直接设点、减元设点、参数设点，无论是哪种，目的都是设而不求，整体代换。

由于四边形是平行四边形，所以对角线互相平分。由中点坐标公式可得到A，B两点的坐标与P点坐标的关系。接下来便有两种消元方式，一是用A，B两点坐标表示P点坐标；二是由P点坐标表示A，B两点的坐标，法1采用后者。如果是前者，代入椭圆方程会出现交叉项，这是许多人望而生畏的。这并非否定前者不可行，事实上定值中不含交叉项，无疑椭圆中交叉项的系数为零，由此便可确定参数的关系。

法2，参数方程。法2是喜闻乐见的，除了运算量大点，没有丝毫毛病。在圆锥曲线中，三角换元是解决定值、最值问题的常用工具。

本题中，平行四边形四边平方和为定值，也即是两邻边的平方和为定值。由平行四边形恒等式可知，其两对角线的平方和也是定值。显然，这三者是一个意思，但次者显得简洁，后者显得高深。如果换我命题，无疑会毫不犹豫地选择后者。

法3，伸缩变换。画椭圆为圆，将平行四边形变成矩形。由此可得矩形两邻边的平方和等于对角线的平方，也即是圆半径的平方，于是定值呼之欲出。法3不易想到？显然你是忘记了我在“仿射变换”中提到：椭圆中涉及斜率和面积的问题，可考虑伸缩变换。

法4，椭圆的垂径定理。如果说法3不易想到，那么法4无疑是难如登天了。有多少人会在圆锥曲线中添加辅助线，借助平面几何工具来求解的。

法3与法4已然是不错的方法，于我差强人意。并非是妄自尊大，而是我看穿了它的命题背景。加上本来只是一道小题，所以直接秒杀。

那么这个背景是什么呢？

共轭直径的在高考中出现得不多，一旦出现便石破天惊。共轭直径，我曾介绍过几次，但主要是涉及大题，今日这道小题也很不错的。对此感兴趣的，可翻阅往期的相关内容。

共轭的轭是什么意思？

轭是指两头牛背上的架子，轭使两头牛同步行走。所谓共轭即是按照一定的规律相配的一对，换言之即是孪生。共轭在数学、物理、化学、地理等科学中都有出现。数学中常见的有共轭复数、共轭双曲线、共轭直径、共轭矩阵等。