数学金字塔法（金字塔中的等腰与等边三角形）

这是图解数学的第3期。

图解数学」系列介绍

「图解数学」系列用学生看起来最为直观的图形，载12期，来解SAT/ACT/AMC8平面几何的考点，并提供中英文对照。

本期要点：

1.三角形中的世界

2.等腰三角形基本性质

3.等边三角形基本性质

4.用技巧快速计算

“尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹：它们大小不一，最高大的是胡夫金字塔，石块之间没有任何黏着物，靠石块的相互叠压和咬合垒成。埃及金字塔是古埃及的法老陵墓。世界八大建筑奇迹之一。”

金字塔的庄严感和稳定性，来自于各面都是等腰三角形，有的还接近于等边三角形。

三角形是数学中最常研究到的图形，没有之一，因为无论是在初中数学、高中数学还是数学竞赛中，几何部分都离不开它。

任意三角形画一个三角形，三边很可能都不相等，我们把它叫做不等边三角形 (scalene triangle) ，这种三角形边长和角度的计算较为复杂，咱们以后再讲。如果一个三角形有两条边相等了，叫做等腰三角形 (isoceles triangle) ,如果恰巧三条边都相等了，叫做等边三角形 (equilateral triangle) 。

咱们今天就讲等腰三角形和等边三角形。

等腰三角形两条相等的边叫做腰，相等两个边的夹角叫做顶角 (vertex angle)，另外一条边叫做底 (base)。如果我们把腰长记为 m ，底边长记为 n （如下图），三角形的周长就能算出来是 2m n ，但是它的面积面积怎么算呢？下面我就来介绍已知腰长和底边长，求面积的方法。

首先要知道等腰三角形一个重要性质：等腰三角形三线合一，即顶角角平分线 (angle bisector) 、底边中线 (median) 和 底边上的高线 (height) 是一条线。（如下图）

“三线合一”这个重要性质一般是用全等三角形来证明，但咱们还没讲到全等三角形。我就说个更直观更快速的证明：因为等腰三角形是对称图形，并且角平分线、中线和高都是对称轴，所以它们是同一条线。

由“三线合一”的性质可以推出等边对等角，即如果一个三角形两边长相等，那么底角相等。等边对等角的逆定理等角对等边依然成立。

现在回到原来问题，因为底边长 n 是已知数，想知道三角形面积咱们只需要知道高是多少。

第一步，做一条高，根据三线合一，这条高同时也是底边的中线；

第二步，用勾股定理算出高。

第三步，底乘高乘二分之一算出三角形面积。

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当知道等腰三角形有一个角是60°时，无论已知的60°的角时底角还是顶角，都能推出这个三角形时等边三角形（如下图1，2）。下面我们来分别证明。

如图1，若已知AB=AC，∠B=60°，则由等边对等角推得∠C也等于60°，继而∠A=180°-60°-60°=60°，再由等角对等边，知三边长都相等。

如图2，若已知DE=DF，∠D=60°，则∠E ∠F=180°-60°=120°，又因为∠E=∠F，所以都等于60°，再由等角对等边，知三边长都相等。

以上两个证明虽然不难，但往往是很多学生所缺乏的，他们觉得简单的就不证了，难的又不会证，导致数学学习中缺乏“证明”这项训练。后果是，很多定理公式都不知道怎么来的，于是就只能死记硬背，学习没有效率。

所以说平时看到公式定理，要试着证证，比如图3：一个等边三角形三边长都是 a ，面积公式为什么就是四分之根号三倍的 a 方呢？自己尝试证明吧，知道这个公式能大大提高解题速度。

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等腰三角形有“胖”、“瘦”之分

这个胖和瘦，是我为了直观地说出它的特点而讲的。

数学学习中存在的一个问题就是很多说法“太严谨”了，因为教数学的老师都是自小严谨地学出来的，刚才那句“胖瘦之分”就会被表述成“腰长一定的等腰三角形，顶角的大小决定底边的长度”。

但这样说出来不直观，学生不易记忆。所以我在这个系列正文部分会多讲些形象化的东西，严谨的定理放在“要点回顾”部分。

等腰三角形顶角常见的是这么几个特殊角：60°、90°和120°，这三种顶角对应的底边长可以算出来具体数值。

如图1，顶角是60°，则这个等腰三角形是等边三角形。底边长就是1。

如图2，顶角是90°，则可以用勾股定理计算出底边长为根号2 。

如图3，顶角是120°，可以做条高，把底边分为左右相等的两部分，再加起来就是根号3。

第一个第二个好算，第三个在考试中现场推就会费点时间。我建议大家把它当性质记住：顶角为120°的等腰三角形，底边长是腰长的根号三倍。

这个根号三又是怎么记住的呢？如图，我标的是根号下1、2、3，哈哈，1、2、3这个规律就好记了吧。

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好，今天你学习了《图解数学》的第三讲，了解等腰、等边三角形，也学会计算等腰三角形面积和边长的技巧。恭喜你，又解锁了一个新章节。下次我们将学习内心与外心。

你可能还想学：图解数学｜任意五角星内角和都是180°？怎么证明？

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