初一上册数学第一单元绝对值(七年级上册数学第一单元绝对值知识点)
【导语】大家都知道,绝对值问题是很简单的知识,今天的考壹佰小编为大家分享的是初一数学知识点总结之绝对值,想要巩固的同学可以过来看看。
【学习目标】
1.掌握一个数的绝对值的求法和性质;
2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;
3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小;
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.
要点诠释:
(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有:
(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小.
(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.
2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0.
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小.如:a与b在数轴上的位置如图所示,则a<b.
2.法则比较法:
两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:
要点诠释:
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:
(1)分别计算两数的绝对值;
(2)比较绝对值的大小;
(3)判定两数的大小.
3. 作差法:设a、b为任意数,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,a<b;反之成立.
4. 求商法:设a、b为任意正数,若,则;若,则;若,则;反之也成立.若a、b为任意负数,则与上述结论相反.
5. 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1.求下列各数的绝对值.
,-0.3,0,
【思路点拨】,-0.3,0,在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.
【答案与解析】
解法一:因为到原点距离是个单位长度,所以.
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|-0.3|=0.3.
因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|=0.
因为到原点的距离是个单位长度,所以.
解法二:因为,所以.
因为-0.3<0,所以|-0.3|=-(-0.3)=0.3.
因为0的绝对值是它本身,所以|0|=0.
因为,所以.
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法:首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是0.从而求出该数的绝对值.
2.下列说法正确的是( )
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
【答案】D.
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大,有可能等于0,故此选项错误;
B、一个数的相反数一定比它本身小,负数的相反数,比它本身大,故此选项错误;
C、绝对值等于它本身的数一定是正数,0的绝对值也等于其本身,故此选项错误;
D、最小的正整数是1,正确.
【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义,正确掌握它们的区别是解题关键.
举一反三:
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.
【变式2】(2015•镇江)已知一个数的绝对值是4,则这个数是 .
【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为 .
【答案】6或-6
类型二、比较大小
3.比较下列有理数大小:(1)-1和0; (2)-2和|-3|;(3)和 ;(4)______
【答案】(1)0大于负数,即-1<0;
(2)先化简|-3|=3,负数小于正数,所以-2<3,即-2<|-3|;
(3)先化简,,,即.
(4)先化简,,这是两个负数比较大小:因为,,而,
所以,即<
【解析】(2)、(3)、(4)先化简,再运用有理数大小比较法则.
【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.
举一反三:
【高清课堂:绝对值比大小 356845 典型例题2】
【变式1】比大小:
______ ; -|-3.2|______-( 3.2); 0.0001______-1000;
______-1.384; -π______-3.14.
【答案】>;=;>;>;<
【变式2】下列各数中,比-1小的数是( )
A.0 B.1 C.-2 D.2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示,则a,-a,-1的大小关系是( ).
A.-a<a<-1 B.-1<-a<a
C.a<-1<-a D.a<-a<-1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
4.已知|2-m| |n-3|=0,试求m-2n的值.
【思路点拨】由|a|≥0即绝对值的非负性可知,|2-m|≥0,|n-3|≥0,而它们的和为0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此,2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.
【答案与解析】因为|2-m| |n-3|=0
且|2-m|≥0,|n-3|≥0
所以|2-m|=0,|n-3|=0
即2-m=0,n-3=0
所以m=2,n=3
故m-2n=2-2×3=-4.
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a| |b| … |m|=0时,则a=b=…=m=0.
类型四、绝对值的实际应用
5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25, 10,-20, 30, 15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.
【答案】 因为| 10|<| 15|<|-20|<|-25|<| 30|<|-40|,所以检测结果为 10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.
【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大.
【点评】绝对值越小,越接近标准.
举一反三:
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记作负数.检查结果如下表:
请用绝对值知识说明:
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量?
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶,分别是检查结果为 0.0018,-0.0015, 0.0012, 0.0010的这四瓶.
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量.
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:cm)依次记为: 5,-3, 10,-8,-6, 12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为:
| 5| |-3| | 10| |-8| |-6| | 12| |-10|=5 3 10 8 6 12 10=54(cm).
小虫得到的芝麻数为54×2=108(粒).
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