物理拓扑结构图解（物理史上首份拓扑图鉴）

如何在带着脚镣的情况下脱内裤？如何在吃麻花的时候不让它散成碎屑？如何把甜甜圈变成咖啡杯？这两个问题看似普通的益智游戏，背后却是一门霸占了近期物理界头条的前沿技术——拓扑物理学。

当一些科学家还在以“试错”的方式苦寻新材料时，拓扑物理学家已经开始乘上了探索的高速列车。上周，《Nature》刊登的一篇论文就为我们展示了一份意义深远的“拓扑图鉴”，从原理上揭示了哪些材料会具有拓扑效应——这将帮助科学家深刻探索马约拉纳费米子、外尔费米子等奇异粒子——在这点上，最近关于“天使粒子”的研究成果就是在超导拓扑材料上达成的。

拓扑绝缘体具有非常神奇的特质，它内部绝缘，表面导电；是导体和绝缘体两种相反性质的结合。而且，其导电的表面态源于材料整体的内禀性质，任何杂质和缺陷都不会影响它。

图丨二维拓扑绝缘体

然而，普林斯顿大学物理学家Andrei Bernevig 团队却找到了一条捷径。《Nature》上发表的“Topological Quantum Chemistry”一文中，他们提出了一套方法论；通过列出晶格中可能存在的能带、对比 230 种不同的对称性、计算化学上的成键轨道，找出原则上能容纳拓扑状态的材料。

该团队表示，呈现拓扑效应的材料占现有晶体材料的 10% 到 30%，也就是说很大一部分化合物都将是拓扑材料的候选者。Bernevig说道：“事实上，截止目前为止，我们所知道的仅仅是海量拓扑材料中的一小部分，更多的材料将等待我们挖掘。”

图丨普林斯顿大学Andrei Bernevig 团队发表的“Topological Quantum Chemistry”一文

那么，为什么实际找到的材料和理论预测的数量差那么远呢？这是因为，在对晶格的理解上“物理学派”和“化学学派”的观念是分离的。高中的化学知识告诉我们，晶体的链接源于单个原子间的化学键，这对晶体的理解是局部的。而物理学家却从能带结构、费米面、k空间等概念上思考，这对晶体的理解是整体的。因此，才导致了现在的被动局面。

其实，Bernevig的方法就是把两种认知模式结合了起来，从而提出了这套“拓扑图鉴”。清华大学的物理学家李渭对此表示：“这绝对是一个更加有效的寻找新拓扑绝缘体的方法，我相信将会有更多的新材料问世。”

图丨该团队为判定拓扑绝缘体提出的方法步骤

尽管有了“拓扑图鉴”，科学家仍需在在实验室继续探索。论文的共同作者 、马克斯普朗克固体化学物理研究所的材料科学家 Claudia Felser 提醒到，知道物质具有一些拓扑状态并不意味着立即能预测它的性质，材料的这些特性仍然需要被计算和测量。

除此之外，研究者面临的另一个障碍是“强相互作用”拓扑材料。因为在绝大多数目前的研究对象中，电子相互间的静电排斥力非常的弱，对拓扑效应影响较小；而强相互作用则会给科研工作带来困难。

一旦解决以上问题，等待人类的将是一个我们无法想象的全新物理图景。首个三维拓扑绝缘体的发现者、普林斯顿大学的 Zahid Hasan 表示，数学和物理间的相互交叉是这个领域的核心，正是拓扑的极致之美与现实的可行的交融驱使着我们不断的探索。

拓扑学是什么？

科学家们花了这么大力气弄这么一个图鉴出来，可不是闲着没事干。在过去十年中，拓扑物理学正经历着一种爆炸式发展：现在的凝聚态物理论文中，很少有标题不带“拓扑”字样的文章。

如果你不想错过这些重大发现，同时希望不被媒体误导，你一定不能错过下面这一波科普。

在数学上，拓扑学是研究多维几何与空间性质的一门学科，其研究对象必须在拉伸、旋转、翻折的条件下保持等价的连通性和紧致性；而不必考虑剪切、断裂的情况。

通俗地举个例子，“甜甜圈”我们生活中最常见的拓扑图形。它中间有一个洞，当我们把甜甜圈拉伸、旋转、翻折之后，这个洞依然存在；但如果甜甜圈被切断了，洞就不存在了。所以，“洞”就是该环面的拓扑特征。而严格地说，环面（也就是甜甜圈）的拓扑学定义是两个圆在三维空间中的笛卡尔乘积。

图丨环面（也就是甜甜圈）的拓扑学定义是两个圆在三维空间中的笛卡尔乘积

在某种角度说，拓扑学也是一种从几何的角度看待事物的方式方法。以电子为例，在奇特的量子物理世界中，电子拥有1/2自旋，对电子自旋进行360度的旋转将得到相反的自旋方向，即电子波函数的相位改变了180度，使得之前波峰的位置变成了波谷，波谷的位置变成了波峰。如果想要使电子自旋恢复到初始状态，还需要再转360度。

如果从拓扑学上看这个性质，电子就像一条扭转一圈后首位相连的莫比乌斯环。如果一只蚂蚁在莫比乌斯环上爬了一圈，它会发现自己位于出发点的对立面，若想回到初始地，它需要再爬一圈才行。这不正是电子自旋中所发生的“拓扑怪相”吗？

图丨电子自旋与莫比乌斯环

事实上，所有由波函数数学结构所形成的几何空间内都存在“拓扑怪相”，就好比每个电子都是一条莫比乌斯环，带着某些有趣的拓扑原理。

量子霍尔效应

最初，大多数物理学家研究量子概念时也没考虑过它们的拓扑意义。直到在上世纪80年代，英国物理学家David Thouless等人才意识到，拓扑理论或许能解释当时刚刚发现的量子霍尔效应。他们具有前瞻性的研究也在去年被授予诺贝尔奖。

其实，霍尔效应在传统电学中就已经出现。我们高中的时候就做过这样的题：

看到这张图你们有没有百感交集？说白了，霍尔效应就是运动的电子会在垂直的磁场中受力，从而遵从右手定则发生偏转，而偏转的运动则带来电势差。

而在量子霍尔效应中，电子在极低温下被约束在二维平面上运动。这时，霍尔电阻的图像中出现了诡异的整数化量子平台。经1985年诺奖得主Klaus von Klitzing测算后，确定该电阻值为e^2/h的整数倍，也就是元电荷的平方与普朗克常数之比的整数倍。

图丨霍尔效应与量子霍尔效应

奇异的是，即使试验中的金属板遭到拉伸、旋转、翻折，甚至存在杂质，其霍尔电阻仍然是该数值的整数倍，这是从前科学家闻所未闻的。

拉伸形变？这么听起来是不是感觉似曾相识？是的，正是拓扑性质在这一现象中作祟。正如电子自旋一样，量子霍尔效应也可以被类比为一种常见的拓扑图形——环面。在推导霍尔效应波函数时，设立的边界条件会形成一个几何意义上的参数空间，该参数空间在拓扑学上与环面等价。

图丨笛卡尔坐标上的环面

从量子霍尔效应到拓扑绝缘体

可以说，量子霍尔效应是拓扑学在量子领域的“处女秀”，也是迈向现代拓扑绝缘体的第一步。

科学家很快意识到，类似的”霍尔效应”可以在不施加外部磁场的条件下实现——在某些特殊的绝缘体中，材料能通过电子和原子核之间的相互作用自己维系磁场，使得材料表面的电子具有坚固的“拓扑保护”状态，并在没有阻力的情况下流动；最终形成表面导电、内部绝缘的“拓扑绝缘体”。

拓扑绝缘体的特殊性质使其在种类繁多的导体、半导体、绝缘体材料中有着特殊的意义。

首先，“拓扑保护”是拓扑性质对其表层电流的稳定性的绝对保证，材料的表面必定是一种优良的导体，我们几乎能够能得到不受老化影响的、恒定不变的电流。想象一种电流绝对稳定、电阻不受长度和横截面积影响的电路材料，工程师们是不是很激动？

除此之外，该材料的另一神奇之处是，在其表面电流中，自旋方向不同的电子运动方向是相反的；这就像高速公路上的双行道，方向不同的车辆在两边有条不紊的行进，而不能相互越界。

图丨在拓扑绝缘体表面电流中，自旋方向不同的电子运动方向相反

通过控制这些这些电子的自旋，科学家能在此基础上制造代替传统元件的“电子自旋”材料。在传统电路中，晶体管通过电流的“开”和“关”来表示“0”和“1”的状态，来传输数据。而自旋材料中，我们能把信息装载在一个个单独的电子之上，通过其自旋的“上”与“下”来进行运算。或许，拓扑绝缘体的表面就是这种传输方式的绝佳载体。

图丨普通材料与自旋材料的对比

而基于拓扑性质的另一项应用，则是量子计算机。目前，量子计算的最大障碍是所谓的“退相干”效应，任何环境的影响都可能导致量子比特的纠缠态坍塌，所以降低环境噪音是工程师的首要目标。

大家知道，量子计算机在超导电路上运行；试想，如果在拓扑绝缘体表面再附上一层超导体，我们将得到两种超级材料的加成——急速无损耗电流 拓扑保护。在拓扑保护之下，电路的运行将比平时稳定的多，也许退相干的问题就能得到解决。

而且，在拓扑量子计算机中，量子比特是由一种被称之为“任意子”（anyon）的二维准粒子构成的。对任意子的操作会在时间上形成一种编织（braid），最终成为量子计算机所需的门电路。该计算机与其他量子计算机能力相当，甚至在某些算法上还具有优势，但其最大的优势在于其稳定性和容错性，因为它是基于量子比特拓扑结构来进行信息处理的。打个比方说，把两股线剪断之后再相互对接（拓扑量子比特退相干）比让两股线自然散开（其他量子比特退相干）要难得多。

图丨拓扑量子比特的纠缠方式

其实，自旋材料和量子计算都只是拓扑绝缘体的潜在应用之一；在这种材料的奇异性质之上，它在未来还有广阔的前景。然而，回归拓扑本身，数学变换与物理相交融自身就是优美的，这种简洁而内禀的美才是驱使我们探索的动力。

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