二次函数的题（二次函数中的一题）

以下所有题目的原型和变式均来自上海对外经贸大学附属松江实验学校花园分校葛云秀老师，涵盖二次函数中的所有题型。

通过一个典型的二次函数，设计出以下几类变式：求函数解析式、用字母表示出线段的长度、平分角问题、等腰或直角三角形存在性问题、角相等问题、面积比问题、平移问题、翻折问题和新定义问题。

01 二次函数背景分析

背景分析：本题中抛物线与坐标轴的交点为(3,0)和(0,3)，根据这个特殊性，可以得到∠OBA=∠BAO=45°，由于MP⊥x轴，因此可得到∠QPB=∠MPA=∠BAO=45°，同时随着点M的运动，点P和点Q也伴随运动，并且这三点的横坐标一致，P、Q两点的坐标都可以用含m代数式表示。

02 求二次函数解析式、对称轴和顶点坐标

解法分析：二次函数的解析式中有两个系数未知，根据题目中提供的A(3,0)，点B（0,3），通过待定系数法完成求解。

03 用含m的代数式表示线段PQ的长

解法分析：通过读题、结合图形，可以发现点M、Q、P在同一条直线上，且直线与横轴是垂直的位置关系，那么直线上所有点的横坐标相同，即m，点P在线段AB上，所以先求出线段AB所在直线解析式，可以得到点P的坐标，点Q在抛物线上，根据上一小问中求出的抛物线表达式，得到点Q的坐标，从而求出线段PQ的长。

04 二次函数与角平分线

问题1：联结BM，当BM平分∠ABO，求点M的坐标

解法分析：在两条直线平行的背景下，一个角的角平分线可以构造等腰三角形，在知道边长的情况，通过列方程，求解。

问题2： 联结BQ、AQ，当QM平分∠BQA，求点M的坐标

解法分析：已知平分和垂直，则联想“等腰三角形三线合一”，延长QB交x轴。此时构造了一组A型基本图形，利用比例线段求解。

05 特殊三角形的存在性

问题1：联结BQ，若▲BPQ为直角三角形，求点M的坐标

解法分析：已知∠QPB=45°，因此，若▲PBQ为直角三角形则有两种情况，即∠BQP=90°或∠PBQ=90°，此时根据对称性或等腰三角形的性质，可以求出点M的坐标。

问题2：联结BQ，若▲BPQ为等腰三角形，求点M的坐标

解法分析：当▲PBQ为等腰三角形时，从等腰三角形图形特征出发，两个边相等，但不能确定具体是哪两个边相等，因此需要分类讨论，以点Q为顶角的顶点，以点B为顶角的顶点，以点P为顶角的顶点，在过程中，关注特殊角45度。

06 角相等问题

问题：联结OP，当∠BOP=∠PBQ时，求点M的坐标

解法分析：通过图像发现直线PM∥y轴，得到∠BPQ和∠OBA这一对内错角相等，根据相似三角形的判定定理1，得到▲OBP与▲BPQ相似，借助相似三角形性质，对应线段成比例，从而求出m，便可求出PQ的线段的长度。

07 面积比问题

问题：▲BPQ面积是▲OPM面积的两倍，求点M的坐标.

解法分析：这两个三角形是等高的，因此这两个三角形的面积之比等于底之比。

08 翻折问题

问题1：点Q沿着AB翻折到Q′，若Q′是在抛物线对称轴上，求点M的坐标

解法分析：通过∠BPQ=45°，继续关注特殊角45度，根据翻折的性质，对应角相等，对应边相等，所以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，因为点在抛物线对称轴上，从而得解。

问题2：点Q沿着AB翻折到Q’，若Q’ 是在抛物线上，求点M的坐标

解法分析：通过∠BPQ=45°，继续关注特殊角45度，根据翻折的性质，对应角相等，对应边相等，所以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，从而得到点Q'坐标，因为点在抛物线上，从而得解。

09 平移问题

问题1：将抛物线沿抛物线对称轴向下平移n个单位，使原抛物线顶点D落在▲ABO的内部，求n的取值范围.

解法分析：通过分析可知，点D落在▲ABO内部时，有两个特殊位置需要关注，即直线x=1与直线AB的交点C和与x轴的交点E，求出交点的纵坐标即可得到平移的距离。

问题2：抛物线顶点D为(1,4)，抛物线对称轴交线段AB于点E，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移n个单位，使点K落在线段OB上，新抛物线与原抛物线对称轴交点为点H，联结HK.若四边形BKHD的面积为3，求n的值.

解法分析：通过分析可知，先根据题意画出平移后的抛物线图像，然后分析得到四边形BKHD是等腰梯形，四边形BKHE是平行四边形，求出BK长度即可得到平移的距离。

10 新定义问题

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