高中数学常见不等式题型速解技巧（不等式的证明思路）

高中数学由于知识点众多，我认为要学好高中数学最重要的就是要善于归纳整理，形成自己的知识框架体系。我们先从这篇《高中数学必修1 不等式的证明思路》中来学习和领悟如何养成归纳整理的好习惯吧。

高中数学，我们做题时常会遇到哪些基本不等式，而证明不等式的方法又有哪些？本文为你详细解读。

一、常用基本不等式

我们先来看几种平均数：

常用基本不等式

这四种平均数满足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。我们平时做题时，遇到的不等式相关问题，基本都离不开以上几种平均数大小关系的比较。

特别地，当n=3时，均值不等式：设a、b、c∈R＋，则

当且仅当a＝b＝c时等号成立。

新人教版 高中数学必修一

一、证明不等式常用思路：

不等式的证明思路和方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法；换元法、常数代换法、几何法、数学归纳法、构造函数法等。（换元法是一个需要专门讨论的方法，这里暂不举例）

1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．

作差法：差与“0”比较。为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．

作商法：商与“1”相比较。作商时，需要满足两者均为正数。

2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。

综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.

3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

4、放缩法：要证明不等式 A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．

放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．

常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。

5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设 A≤B，由题涉及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．

6、常数代换法

常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。

常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。

7、几何法

通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。

8、换元法

9、数学归纳法：当不等式是一个与自然数 n 有关的命题，

可以利用数学归纳法进行证明．

10、构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明．

说明：其中8换元法，有专题研究，本文不做详细讨论，9和10不属于必修一内容，本文也暂且不做讨论。

三、不等式证明方法对应练习及规律方法

3.1、比较法

3.1.1、比较法（做差法）

3.1.2、比较法（作商法）：

3.2、综合法

3.3、分析法

规律方法：用分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真，只需证明命题 B1 为真，从而又只需证明命题B2 为真，从而又……只需证明命题 A 为真，今已知 A 真，故 B必真．简写为：BB1 B2… Bn A.

重要领悟：只要含有根号或绝对值，我们就可以通过平方或者适当变形后平方，来去掉根号或绝对值。

3.4、放缩法

规律方法：利用不等式的传递性。要证 A>B，可适当选择一个 C，使得 C≥B，那么A>B,反之亦然．放缩技巧有：

①分式放缩：固定分母，放缩分子；固定分子，放缩分母．常用于分式类不等式的证明；

②添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，常见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明．

好了，今天就分享到这里了，高中数学学习笔记将持续更新，敬请关注！

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