高考数学真题极坐标与参数方程(极坐标方程与参数方程问题)

这是2022年高考数学理科全国理卷的一道选做题,关于极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程的问题。虽然只是选做题,但这个知识也应该掌握。因为你未必能保证不需要做到这类题目。不要说只要是选做题就不需要学习理解,那就相当于放弃一道题12分了。

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{x=(2 t)/6, y=根号t} (t为参数),曲线C2的参数方程为:{x=-(2 s)/6, y=根号s}, (s为参数).

(1)写出C1的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0, 求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标.

分析:(1)选择将y=根号t,转化成y^2=t,代入x=(2 t)/6=(2 y^2)/6, 可以化为抛物线的标准式。还有一点非常重要的,不要忘了,标出函数的定义域或值域。这里的定义域并不能确定值域,所以最重要的是标出值域。

(2)为了求交点的直角坐标,必须将C2和C3都化为直角坐标方程。C2的转化过程和C1同理。C3主要依据x=ρcosθ, y=ρsinθ, 对极坐标方程两边同时乘以ρ,就可以代入x,y了。不过其实直接理解为acosθ bsinθ=0可以转化为ax by=0也是说得通的,而且更加直观。理解就好!

然后分别列C1和C3,以及C2和C3的交点方程,得到两个一元二次方程,求解就可以。下面组织解题过程:

解:(1)C1:x=(2 y^2)/6, 即y^2=6x-2 (y≥0, x≥1/3).

(2)C2:x=-(2 y^2)/6, 即y^2=-6x-2 (y≤0, x≤-1/3).

C3:2x-y=0, 即y=2x,

解方程:4x^2=6x-2, 得:x=1或x=1/2, y=2或y=1,

解方程:4x^2=-6x-2, 得:x=-1或x=-1/2, y=-2或y=-1,

∴ C3与C1交点为(1,2)和(1/2,1),及C3与C2交点为(-1,-2)和(-1/2,-1).

下面是它们的图像,仅供理解,解题过程不需要画图。

高考数学真题极坐标与参数方程(极坐标方程与参数方程问题)(1)

瞧!高中理科数学的选做题,是多么简单啊。另一道选做题,是关于不等式的问题,昨天老黄也已经分享了。

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