高考数学真题极坐标与参数方程（极坐标方程与参数方程问题）

这是2022年高考数学理科全国理卷的一道选做题，关于极坐标方程、参数方程以及直角坐标方程的问题。虽然只是选做题，但这个知识也应该掌握。因为你未必能保证不需要做到这类题目。不要说只要是选做题就不需要学习理解，那就相当于放弃一道题12分了。

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=(2 t)/6, y=根号t} (t为参数)，曲线C2的参数方程为：{x=-(2 s)/6, y=根号s}, (s为参数).

(1)写出C1的普通方程;

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0, 求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.

分析：(1)选择将y=根号t，转化成y^2=t，代入x=(2 t)/6=(2 y^2)/6, 可以化为抛物线的标准式。还有一点非常重要的，不要忘了，标出函数的定义域或值域。这里的定义域并不能确定值域，所以最重要的是标出值域。

(2)为了求交点的直角坐标，必须将C2和C3都化为直角坐标方程。C2的转化过程和C1同理。C3主要依据x=ρcosθ, y=ρsinθ, 对极坐标方程两边同时乘以ρ，就可以代入x,y了。不过其实直接理解为acosθ bsinθ=0可以转化为ax by=0也是说得通的，而且更加直观。理解就好！

然后分别列C1和C3，以及C2和C3的交点方程，得到两个一元二次方程，求解就可以。下面组织解题过程：

解：(1)C1：x=(2 y^2)/6, 即y^2=6x-2 (y≥0, x≥1/3).

(2)C2：x=-(2 y^2)/6, 即y^2=-6x-2 (y≤0, x≤-1/3).

C3：2x-y=0, 即y=2x,

解方程：4x^2=6x-2, 得：x=1或x=1/2, y=2或y=1,

解方程：4x^2=-6x-2, 得：x=-1或x=-1/2, y=-2或y=-1,

∴ C3与C1交点为(1,2)和(1/2,1)，及C3与C2交点为(-1,-2)和(-1/2,-1).

下面是它们的图像，仅供理解，解题过程不需要画图。

瞧！高中理科数学的选做题，是多么简单啊。另一道选做题，是关于不等式的问题，昨天老黄也已经分享了。